Частотная передаточная функция линеаризованной цифровой системы практически совпадает с частотной передаточной функцией непрерывной системы, если будет выполняться условие

1атах1<-г-, (4.76)

где «тах - наибольший по модулю чисто мнимый полюс частотной передаточной функции (он соответствует наибольшему по модулю вещественному полюсу в р-плоскости

передаточной функции).

I-•-I

Т - период дискретности. Для комплексных корней

Г LMTe в р-плоскости (pi.2 =

! irlhj j =-у±}Х) аналогичное

и[п] г[п]

условие имеет вид

" ?max<-r, (4.77)

Рис. 4.11. Дискретный вариант где Я-щах - наибольшее зна-фильтра Винера. МНИМОЙ части комп-

лексного корня. При выполнении условий (4.76) и (4.77) применительно к полюсам спектральной плотности полезного сигнала учет квантования по времени оказывается ненужным и система может рассчитываться как непрерывная с последующим использованием ЦВМ. При действии коррелированной помехи v{t) сформулированное условие сохраняет свою силу, если при выбранном периоде дискретности время корреляции помехи меньше периода дискретности и она может рассматриваться как дискретный белый шум.

При невыполнении условий (4.76) и (4.77), точнее, при невозможности выполнить эти условия соответствующим выбором периода дискретности, необходимо перейти к рассмотрению дискретных фильтров Винера. Дискретный вариант фильтра изображен на рис. 4.И. Полезный сигнал и помеха представлены в виде решетчатых функций и\п\ и v\n\. Передаточной функции оптимального фильтра Я (z) соответствует приведенная весовая функция h [л], связанная с передаточной функцией г-преобразованием. В качестве критерия качества рассматривается дисперсия

g 4.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА 293

решетчатой функции ошибки e[n]=g[n] - y[n\ в виде iilWTr 1 Пп]. (4.78)

n=-N

Как и ранее, изображение задающего воздействия 0{z) связано с изображением полезного сигнала U (z) зависимостью

0(z)H,{z)U(z). (4.79)

Дискретизация уравнения Винера -Хопфа (4.23) дает основное уравнение для определения приведенной весовой функции оптимального фильтра:

влМ= Ц0<т<со, (4.80) п=о

где корреляционная функция суммарного решетчатого входного сигнала r[n]==u[n]-{-v[n]

Kr[rn]= lim У r[n + m]r[n] =

= Ku [tn] + Ко [tn] + к a. [tn] + K-,,a (4.81)

a взаимная корреляционная функция определяется здесь выражением

i(g/n]= lim 277 2 [« + "]-[«] =

n=-N

-Kgn[tn] + KgAtnl (4.82)

Приведенная весовая функция Л [п] представляет собой реакцию фильтра на единичную решетчатую импульсную функцию 6о[«.].

В формуле (4.81) использованы корреляционные функции полезного сигнала Ka[tn], помехи /С[т] и взаимные корреляционные функции полезного сигнала и помехи Kuv[tri\ и Kvu[tn]. Этим функциям соответствуют спектральные плотности, которые могут быть записаны в зависимости от псевдочастоты: St {к), S(5t), S%„{%) и S?u(A.).

В формуле (4.82) использованы взаимные корреляционные функции полезного сигнала и желаемого значения

Щ (jX) = (-р

(4.85)

Рассмотрим решение дискретного уравнения Винера - Хопфа на основе изложенного в § 4.3. Если корреляционная функция Kr[tn] соответствовала бы дискретному белому шуму, т. е. имело бы место равенство Кг [т] = бд [т], то решение (4.80) было бы

Корреляционной функции бо [т] соответствует спектральная плотность

S*(X) = 1. (4.87)

Передаточную функцию отбеливающего (декоррели-рующего) фильтра можно получить из условия

\WU{m\Sf{K) = l. (4.88)

Представив спектральную плотность Sf (К) в виде

S* (Я) = ¥* (/Я) W* (- /Я), (4.89)

где Ч*(/Я) = [5*(Я)] и Ч*(-/Я) = [5*(Я)]-, получим частотную передаточную функцию отбеливающего фильтра

WU(m = - (4.90)

управляемой величины Kgu[in], а также помехи и желаемого значения управляемой величины /С„[т]. Им соответствуют спектральные плотности 5„ (Х) и S%v ()-На основании рис. 4.11 можно записать следующие равенства:

S„(W = o*(A)SS(A), (4.83)

S„(X) = 0. (4.84)

В частном случае, когда рассматривается задача оптимальной фильтрации, Яо (z) == 1. Тогда S*„ (X) = (Ц = = S, (Я).

В задаче предсказания Яо (г) = z, где/ - число тактов, на которое осуществляется предсказание, а время предсказания То = 1т, где Г -период дискретности. Тогда