С корреляционной функцией (3.159) физически нереален, так как ему соответствует бесконечная дисперсия скорости. Попытки использовать корреляционную функцию более сложного вида с конечной дисперсией скорости приводят к необходимости учета квадратичного члена в разложении функции р(т), так как в этих случаях р(0) = 0. Это обусловливает получение корреляционных функций значительно более сложного вида, не поддающихся последующему интегрированию.

В связи с этим рассмотрим иной путь нахождения статистических характеристик шума квантования, позволяющий вводить более сложные корреляционные функции

входного сигнала. Кроме того, этот путь не требует выполнения условия стационарности входного сигнала. Здесь достаточно иметь выполнение условия стационарности скорости изменения входного сигнала.

Пусть входной сигнал изменяется с постоянной скоростью У = const. В этом случае помеха, вызванная квантованием по уровню, будет изменяться в соответствии с графиком, изображенным на рис. 3.15, в пределах от -0,56]. до -b0,56i с периодом T = bi/V.

Единственной случайной величиной в этом процессе будет смещение 6, для которого может быть принята гипотеза о равномерном распределении в интервале от О до Т. Рассмотрим корреляционную функцию этого процесса. Так как процесс периодичен, то имеет место равенство

К;(т)= Mm [ v{t)v{t + T)dt

= J- J v{h)v{h + x)dh, (3.175)

Рис. 3.15 Шум квантования по уровню при линейном возрастании квантуемого сигнала.

-6.57-.,

где ti = t - B. Далее можно определить при Ох-

Г0.5Г -X

[ V(iV{h + T)dk-\-

- 0,5Т

+ [ VU[~8i+V(h + c)]dii

~" 12

- (1-6 + 6

(l-6--4-6-У (3.176)

Если t = AT.j, + t, где ft -целое число, а тТ, то вследствие периодичности процесса Kv (т) = Kv (т). Поэтому в общем случае формула (3.176) может быть записана в виде

-k +6

73.177)

где ft = 0, 1, 2, ... соответствует целой части относительного временного интервала:

(3.178)

Корреляционную функцию (3.176) можно привести к безразмерному виду делением на дисперсию шума квантования: ,

(т) = 1 -6

В формулу (3.179) введен знак модуля, так как pv{x} = Pv{--)- График этой функции построен на рис. 3.16.

Переход к случаю, когда скорость входного сигнала не постоянна, а меняется случайным образом, представляет собой трудную задачу, которая может быть решена

Рис. 3.16. Корреляционная функция шума квантования при движении с постоянной скоростью.

методами численного интегрирования [73]. Здесь мы рассмотрим получение приближенных зависимостей для случая, когда входная скорость соответствует стационарному процессу.

Пусть скорость может быть принята постоянной на каждом периоде пилообразного сигнала (рис. 3.15). Введем понятие математического ожидания (среднего значения) продолжительности одного зубца «пилы»

Тс = -у, (3.180)

где Vc - среднее по модулю значение скорости изменения входного сигнала. Тогда для т<Тс корреляционная функция может быть получена из (3.176) при замене на Т:

KAr)-(l-6 + 6y (3.181)

Если г>>Тс, то в соответствии с формулой (3.177), а также учитывая то обстоятельство, что среднее произведение скоростей двух зубцов «пилы», сдвинутых на k тактов, равно корреляционной функции скорости входного воздействия Ki{kT, для корреляционной функции шума квантования по уровню может быть записано приближенное выражение в виде

S?/c. (т)

К.(т).

(3.182)

120f

где Oj -средний квадрат входной скорости, а fe -целая часть относительного временного сдвига, определяемая формулой

Таким образом, корреляционная функция шума квантования может быть получена из исходной периодической кривой (рис. 3.15) при замене на и введении затухания, которое определяется огибающей нормированной корреляционной функции Ki{})lol. Формула (3.182) будет тем точнее, чем медленнее затухает огибающая внутри периода Тс.

Для перехода к спектральной плотности целесообразно разложить периодическую кривую (рис. 3.14) в ряд