ГЛАВА 2

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СИСТЕМ

§2.1. Вводные замечания

Известна методика исследования линеаризованных нелинейных непрерывных систем [8, 24, 62]. Эта методика основывается на переходе от нелинейной системы к линеаризованной посредством использования разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора с последующим сохранением для исследования только линейных членов

ЗВеио

Рис. 2.1. Нсяннейное непрерывное динамическое звено с двумя выходами.

разложения. Так, например, пусть для нелинейного звена (рис. 2.1, а) дано дифференциальное уравнение вида

Р{хг, Х2, Х2, Лз, -з, -3, л:з) = ф(/, /), (2.1)

где Xi и Хг -входные величины, Хз -выходная величина, / - внешнее воздействие, F и ф - некоторые нелинейные функции. Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях Xix", Х2 = }, Хъ = х1 и f = f°. Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно (2.1) будет

F(x\, xl. О, xl. О, О, 0) = ф(Г«, 0). (2.2)

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае Xi, Ха, Хз) могут

быть разложены в ряд Тейлора и они изменяются так, что их отклонения от установившихся значений (xj, х?2, х) остаются все время достаточно малыми (рис. 2.1, б).

Обозначим указанные отклонения через Axi, кх, Алгз. Тогда в динамическом процессе

XI (/) = х; + Дх1 it), хг (О = х§ + Дха (О, Л = АЛ. j 2 3)

Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического управления и следящих систем обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы.

Внешнее же воздействие f не зависит от работы автоматической системы, изменение его может быть произвольным, и поэтому правая часть уравнения (2.1) обычно линеаризации не подлежит (в отдельных случаях и она может быть линеаризована).

Первый способ линеаризации. Разложим функцию F, стоящую в левой части уравнения (2.1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (2.1) примет вид

\dxs) \dxsj \д£з1 \дхз/

+ (члены высшего порядка малости) = {f, f), (2.4)

где через (dF/dxi)° для краткости обозначена величина дР/дХи взятая при Хг = л:?, Хг = л:§, = О, Хз = л,..., лгз = О (т. е. сперва берется в общем виде частная производная от функции F по Xi, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения xl, х?2. О, х1, .... 0).

Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (2.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция F содержит / в явном виде или если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями xl{t), 4(0, 4{t).

(2.5)

Это дифференциальное уравнение, так же как и (2.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от (2.1) состоит в следующем:

1) уравнение (2.5) является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка;

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины Xi, Хг, Хз, а их отклонения Axi, Дхг, Ахз от некоторых установившихся значений xj, xl, xl;

3) полученное уравнение оказывается линейным относительно отклонений Дх1, Дхг, Дх2, ..., Дхз с постоянными коэффициентами j , igjj . ••• (или с переменными коэффициентами, если F содержит t в явном виде, а также когда установившийся процесс определяется переменными величинами x4(t), xS(0, xl{t), например в программном управлении).

Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (2.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Проделав то же самое для всех звеньев системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса управления в отклонениях (или, как называют еще, уравнения в вариациях).

Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (2.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений Дхх, Дхг,... с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции F по всем переменным.

Вычтя из уравнения (2.4) почленно уравнение установившегося состояния (2.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена в виде

(S"- + (£)"A«. + (£)"A*+(£)"A.,+