Выделим множитель

¥ (/со) = [S, (со) + Л]- -rdSri"-

В соответствии с формулой (4.47) передаточная функция замкнутой системы

(/«) = 1 =1 i<(i+i<n)VN

[Sg ич>) + (l+/cuTi) (1 +№) А2Diri

1+/СйТэ

(1 +/CUTi) (1 +/С0Г2) (1 +/CuTi) (1 +/СОТ2)

Далее можно найти передаточную функцию разомкнутой системы

где общий коэффициент усиления разомкнутой системы

Анализ последней зависимости раскрывает физическую сущность выбора общего коэф()ициента усиления, который должен быть тем больше, чем больше дисперсия скорости входного сигнала и чем меньше уровень белого шума. При этом величина общего коэффициента усиления пропорциональна корню квадратному из их отношения.

Ошибки в оптимальных системах. Для исходной схемы (рис. 4.1) можно записать дисперсию ошибки в виде

?ш1п = М it)] = М {Ig it) - у it)]] =

g(t)-\h{t-x)r{x)dT о

g 4 31 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА 281

Если В последней формуле использовать равенство (4.23), то получим для стационарного случая

М [е (01 = /С (0) - 5 Л (т) Kgr (г) dx. (4.54)

Так как при т < О весовая функция h (х) = О, то нижний предел интегрирования в (4.54) можно заменить на - оо. Кроме того, для оптимальной частотной передаточной функции замкнутой системы можно записать

= -Щм S (4.55) о

= S g-rfco. (4.56)

Подстановка обратного преобразования (4.55) в формулу (4.54) дает

im!n = /C(0)-

СО р оо со

-со L -со о

оо р оо оо

= /СИО)- 5 i S"" -Щм \ ri)"dx dt.

о L о -со

(4.57)

Выражение в квадратных скобках равно Kgs{t). Поэтому дисперсия ошибки может быть представлена в виде

?n,in = Kg(0)-\Kh (-f) dxDg-\ Kh(T) dx, (4.58)

где - дисперсия задающ,его воздействия g{f).

Формула (4.58) может быть представлена в другом виде, если использовать спектральные плотности сигналов. Первое слагаемое в формуле (4.58)

5(«). (4.59)

dx =

Sr (оз) = S„ (ш) 4- 5, (ш) 4- 5,™ (ш) 4- 5„„ (ш).

Таким образом, расчетная формула для определения дисперсии ошибки по спектральным плотностям приобретает вид

со со

шт =i ] Sg{i)da,-~ \Н (/со) Р 5, (со) dco. (4.61)

-со -оо

при учете формулы (4.39), из которой следует зависимость

выражение (4.61) можно привести к виду

оо со

?п,ь = 2 Sco) dco- 1 Б (/со) 1== dco. (4.62)

-оо -со

Однако формулы (4.58) и (4.61) оказываются малопригодными в тех случаях, когда задающее воздействие g(t) соответствует нестационарному процессу с неограниченно возрастающей дисперсией. Это может быть, например, при рассмотрении задающего воздействия, представляющего собой типовой входной сигнал следящей системы [8]. При этом наличие в следящей системе астатизма приводит к стационарности и конечности дисперсии ошибки системы. Преобразуем для этого случая формулу (4.61), ограничиваясь условием Яр (р) = 1, а также отсутствием

Второе слагаемое

0 0 -оо

-ОО о

5 \H{j)\SA<)do,, (4.60)