В соответствии с формулой (2.11,3)

Z «"J-2S \ 11+АГ/2Р • (4.120)

Поэтому формула (4.118) может быть записана в виде • I,. = KAO]-i I мАгЙ + 2"М- (4.121)

-со п = 0

В безразмерной форме дисперсия ошибки

\ -оо п = 0 J

При отсутствии помех числитель подынтегрального выражения в формулах (4.121) и (4.122) совпадает со спектральной плотностью входного сигнала. В этом случае

/-1

[ (4.123)

Для прогнозирования на один такт вперед / = 1 и

Пример 4.5. Рассмотрим прогнозирование случайного процесса со спектральной плотностью вида (3.59):

г(1+хг1) •

где эквивалентная постоянная времени

а Ti - постоянная времени спектральной плотности исходного непрерывного процесса. Пусть требуется прогнозировать значение входной величины g[n] на / тактов вне-

g 4.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА S05

ред по результатам текущего измерения этой величины при отсутствии помех.

Представим спектральную плотность в виде Sg (К) = = ¥*(А)¥*(-А), где

*(А) = [5(А)Г=/1±.

Перейдем к аргументу z = {l + jlT/2) (\ - jXT/2)-h

Характеристическое уравнение, определяющее фундаментальную матрицу, -d) = 0, имеет два корня: z- d и 22 = 0. Фундаментальная матрица состоит из одного элемента Oii[l] = d. В данном случае матрица С==1, а передаточная функция оптимального фильтра без предсказания Ян(г) = 1. Поэтому формула (4.115) приобретает вид

y[n + f]g[n]d.

Таким образом, прогнозирующее устройство в данном случае представляет собой безынерционное звено (аттенюатор), коэффициент передачи которого уменьшается с ростом числа тактов, на которое осуществляется предсказание.

Для нахождения ошибки прогноза определим из (4.114) приведенную весовую функцию при / = 0:

hiu[n] = 4i4z)] = -YDAl-d) =! D (l-d)d\

Относительная ошибка прогнозирования в соответствии с формулой (4.123)

/-1 /-1

Из полученного выражения видно, что при / = 0 (отсутствие предсказания) дисперсия ошибки равна нулю. При l-oo относительная дисперсия ошибки стремится к единице.

§ 4.5. Основы теории фильтров Калмана " "

Фильтры Калмана находят сейчас применение при решении различных задач оптимальной фильтрации [106, 147]. Эти фильтры были обоснованы также работами Р. Б ьюси [148]. Поэтому они иногда называются фильтрами Калмана - Бьюси.

В отличие от задачи Винера, здесь для задания случайного полезного входного сигнала (задающего воздействия системы управления) используется формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом.

Модель источника полезного сигнала определяется матричным нестационарным дифференциальным уравнением, отражающим динамику системы-аналога, и уравнением наблюдения:

-A{t)x{t) + B(t)u{t), \ j24)

go{t) = C{t)x(t) + v{t) = g{t)-v{t), j

где X (t) = 1] л1 (О Х2 (О • •. х„ (t) II - матрица-столбец переменных состояния системы, и (t) = Ц Ui (t) (О • • «/• (01Г - матрица-столбец сигналов белого шума на входе системы-аналога, g (t) = llgi (/) gi (t) ... gi (t) I - матрица-столбец задающих воздействий, go {t) = g{t)-\-v(t) -матрица-столбец задающих воздействий, искаженных ошибками измерений, т. е. матрица-столбец выходных сигналов системы-аналога, г; (О - матрица-столбец ошибок измерений, A{t), B{i) и С(/) -матрицы размеров пхп, пхг и txn соот-ветстЕишо.

Матрица состояния А (t) отражает динамику свободной системы, матрица помех В (t) характеризует влияние входного сигнала, а матрица наблюдения С(/) -связь переменных состояния x{t) с выходным сигналом go(0. который поступает далее на вход системы управления. Так как в общем случае элементы матриц А, В и С могут изменяться в функции времени, то уравнения (4.124) характеризуют нестационарную систем у-а налог входных воздействий. Если элементы матриц А, В и С не зависят от времени, то система-аналог становятся стационапной. П11И равенстве нулю В (t) и (t) система становится свободной.