ГЛАВА 3

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИФРОВЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

§ 3.1. Вводные замечания

Непрерывная случайная величина х, изменяющаяся во времени /, называется случайным или стохастическим процессом. Случайный процесс не есть определенная кривая x{t), а множество возможных кривых x{t), так же

как случайная величина не имеет определенного значения, а является совокупностью (множеством) возможных значений. Можно еще сказать, что случайный процесс есть такая функция времени, значение которой в каждый момент времени является случайной величиной.

Случайный процесс может быть оценен некоторыми вероятностными характеристиками. В каждый момент времени {ti, h, is,рис. 3.1,а) наблюдаются случайные величины Xi = X (/i), Хо = X (4) и т. д., каждая ггз которых имеет свой закон распределения. Поскольку это непрерывная случайная величина, то надо пользоваться понятием плотности вероятности.

Обозначим &(х, i) закон распределения (плотность вероятности) для всех этих отдельных случайных величин. В общем случае он меняется с течением времени. Для каждого данного t в отдельности (i, 2, ts, ...) будет свой закон распределения &(xi, Л), &{Х2, U), Ь{хз, ts) и т. д., причем для каждого из них

J (х, t)dx= I.

Рис. 3.1. Ншрерывный случайный процесс.

Дл?! каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных величин. В результате будем иметь среднее по множеству {математическое ожидание), или момент первого порядка,

M[x(t)] = x(t) f xfix, t)dx (3.1)

- оо

и дисперсию {центральный момент второго порядка) D{t) = U{{x-xf\ \ (х-х)2&(х, t)dx

- СО

=.W{t)-[x{t)f. (3.2)

Кроме характеристик x{t) и D(/), которые для каждого данного момента времени являются средними по множеству, вводится понятие среднего по времени значения случайной величины х для отдельной реализации случайного процесса x{t), которое определяется из выражения

хМт ? x{t)dt. (3.3)

Для того чтобы установить связь между возможными значениями случайной функции x{f) в последующие моменты времени со значениями в предыдущие моменты, вводится понятие двумерной плотности вероятности

2 {XI, h; х, h) («2>0),

смысл которого можно пояснить следующим образом. Вероятность того, что в момент времени величина х находится в интервале {хи Xi + dxi), а в момент времени 4 -в интервале {х, x + dx), будет {Xi, ti; х, ti) dx dxz. Это есть вероятность того, что кривая х {t) пройдет вблизи двух заданных точек {xi, tj) и {хз, h). Вводится также п-мерная плотность вероятности

&„(xi, ti, Xi, U: Xn, tn).

Если ее умножить на dx dx ... dXn, то это будет вероятность того, что кривая пройдет вблизи заданных п точек. Таким образом, случайный процесс определяется видом функций &г, &з, .... &„ и связью между ними.

Введем понятие чисто случайного процесса. В таком процессе все значения случайной величины в отдельные моменты времени (xi в момент ti, х в момент 4 и т. д.) не зависят друг от друга. Тогда появления значений (xi, i), {xz, /2), [Хъ, ts) и т. д. будут независимыми случайными событиями, для которых вероятность их совместного наступления равна, как известно, произведению вероятностей наступления каждого из них в отдельности. Следовательно, для чисто случайного процесса

*2(Xl, ti- Х2. 2)=&(Xl, М*(2. 4), (3.4)

п{Х\, ti] Xz, t; Xn, t„) =

= *(xi, tx)ix„ 4)...*(x„, t„). (3.5)

Эти наиболее простые соотношения в теории случайных процессов могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто случайные хаотические помехи).

Для характеристики полезных входных сигналов систем управления соотношения (3.4) и (3.5) практически не могут применяться, так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степени зависит от того, что было в предыдущие моменты времени. В этом случае вместо формулы (3.4) следует записать

*2 {Х„ ti, Х2, 4) = & (Xl, 1) *21 {Х2, 4). (3.6)

где &2i(2, 4) rf - условная вероятность того, что случайный процесс пройдет вблизи точки (Xg, 4), если он уже прошел через точку (xi, 1). Следовательно, зная плотности вероятности ©(х, t) и flz (Xi, ti, х, t, можно найти также и условную плотность вероятности

.Лх.,и)=Щ. (3.7)

Кроме того, имеет место следующая связь между основными плотностями вероятности:

*(xi, 1)= \ 02(xi, /1; X2,4)dx2, (3.8)

так как ©(xi, 1) есть плотность вероятности случайной величины (xi, 1) безотносительно к тому, какое потом