Задаваясь значениями m = 1, 2, ... и используя таблицу 5.12, вычислим Аэтах- Результаты представлены в таблице 5.13.

Таблица 5.13

Из таблицы следует, что наивысшая точность достигнута при т = 3. Тогда Дэ max =1,74%. При этом в соответствии с формулой (5.315) требуемый период дискретности

опт --

(3+1)-3.1 -1 Л4.7 3. 15. 60 \ 12

= 0,15с.

Цена единицы младшего разряда выходного преобразователя составит при этом 6ii=6ir"i = 1 • 6,7 = = 6,7 угл. мин/с=400 угл. сек/с. Так как gmax = P- = = 15 7с=54 000 угл. сек/с, то число разрядов выходного преобразователя должно быть при этом не меньше величины ai 3,3 Ig (1+54 000/400) = 3,3 Ig 136 = 7.

С целью уменьшения числа разрядов в соответствии с формулой (5.309) можно определить а <; 1,65 Ig 14,72 = = 1,93. Приняв а=1, получим цену младшего разряда выходного преобразователя 6ii = 2 6,7= 13,4 угл. мин/с, а общее число разрядов при этом должно быть не менее величины ai 7 - 1 = 6.

Пример 5.4. Определим требования к входному преобразователю для обеспечения максимальной ошибки дифференцирования, не превышающей 0,1 «/о. Для условий предыдущего примера. В соответствии с формулой (5.317) имеем

m+l m+1

ЛД 900-0,001 FAm) ~ FAm)

Задаваясь различными значениями т и используя таблицу 5.12, вычисляем требуемые значения 6i для различных т. Результаты расчета сведены в таблицу 5.14.

Из таблицы следует, что в оптимальном случае при т-А цена единицы младшего разряда входного преобразователя должна составлять 2,98 угл. сек.

Перейдем теперь к вопросу получения на ЦВМ второй производной входного сигнала. В соответствии с изложенным выше алгоритм дифференцирования, полученный на использовании второй интерполяционной формулы Ньютона, имеет вид

ёЛп]

т-1 %

Vg [п] + [„] -f ]1 V* [п] + ... +1 2 Т [«]

(5.318)

где V2g[n], V"g[n] -обратные разности от 2-го до т-го порядков, Г-период дискретности ЦВМ. Переход к дискретным значениям входной величины в моменты времени пТ, (п-1)7, {п - т)Т может быть сделан или по формулам перехода (5.294), или на основе использования интерполяционной формулы Лагранжа [30]:

т т k - l

ёи1п]т- 2 2 i" 1 т[«-Л=

/=о ki i=\

m k- 1

(5.319)

A = 2 i=I

где C{ - биномиальные коэффициенты, причем С{ = 0, если j>k. Формула (5.319) удобна для реализации алгоритма дифференцирования на ЦВМ.

Таблица 5.14

Рассмотрим методическую ошибку дифференцирования. Как и в случае получения производной, если входной сигнал имеет конечное число производных /, то максимальный порядок обратной разности в (5.318) должен быть равен т=1. Тогда методическая ошибка, связанная с дискретизацией во времени, будет равна нулю. При m<.t появляется методическая ошибка. При дифференцировании, например, сигналов морской качки /-voo. Поэтому методическая ошибка дифференцирования здесь будет существовать всегда. Представим входной сигнал § (О в виде случайного стационарного процесса, для которого известны корреляционные функции

mgit)g(.t + T)] = Ki{T)

M[f(Og( + t)] = Ka(t).

Ошибка определения второй производной может быть найдена как разность между ее действительным значением g[n] и машинным #„[п], вычисляемым по формуле (5.318):

6g [и] = # [п] - S big [п - /] Т-. (5.320)

1 = 0

Возведем левую и правую части (5.320) в квадрат и определим математическое ожидание, равное дисперсии ошибки:

о1 = М {{g [и] - g. [п]г} = Ki [0] + 27- 2 b,Ki [iT] +

t = 0

m- / m m

+2T-* 2 S bib,,,K ЦТ]+T-* 2 b\K [0]. (5.321)

£=0 /=1 i=0

Относительная ошибка может быть найдена делением среднеквадратичного значения а„ на среднеквадратичное значение второй производной входной величины:

Д«=- = , °" . (5.322)