Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая

&f[n] = &f[n+l]-Af[n] =

f[n + 2]-2f[n+l]+f[n] (2.20)

и обратная

V/[n] = V/[«]-V/[n-l] =

= /[n]-2/[n-I] + f[n-2]. (2.21)

Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.

Af[n]

о (п-0 л СпП

Рис. 2.8. Прямая и обратная разности

Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления й-й разности возможно использование рекуррентных соотношений

А"! [п] = A-V [п + 1] - A-V fn], V*/ [n] = V*-i/ [n] - V*-V [n - 1]

или формул общего вида

A*/[n]=i: (-i)"Q[«+-v],

(2.22)

v=o k

(2.23)

где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)

= (2-24)

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т. е. /[nJO при п<;0, то, как следует из (2.23), в точке п = 0 k-я разность

П[0] = /[0] (2.25)

для любого целого положительного k.

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от О до / для решетчатой функции -являются неполная сумма

о [п] = 2 / [т] = 2 / [« - v] (2.26)

т=0 v=l

и полная сумма

сто W = ст [п] -Ь/[п] = а [п + 1] = i: /[т]. (2.27)

Отличие (2.27) от (2.26) заключается в том, что значение f[n] в момент времени t = nT также участвует в формировании результата.

Разностные уравнения. В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид

ЪА-у [п] + ЬАгп-Ху [„] + ... + ьу [п\ = / [п], (2.28)

где / [п] - заданная, а /[п] - искомая решетчатые функции. При f[n\ = 0 уравнение (2.28) становится однородным разностным уравнением.

При использовании (2.23) разностное уравнение (2.28) можно записать в другом виде:

аоУ[« + т] + а1У[« + т-1] + --- + ад[«] = /[«]. (2.29)

Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости

о,= V -1) (2.30)

где биномиальные коэффициенты

г"*" - (т-у)1 /9 чп

""- (fe-v)l(m-ft)I- (-f

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет иметь вид

Ьо"У [п]+b.Vn-y [п]+... + Ь.пУ [«] = /[«]. (2.32)

С учетом формулы (2.23) последнее выражение приобретает вид

аоУ [п] -Ь сху [л - 1 ] -Ь... -Ь с„у [п - т] - / [л]. (2.33)

Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

V-=0

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения у\п-\-гп\ при л = 0, 1, 2, ... для заданных начальных значений y\G\, у\Х\, .... у[т-Ц и уравнения вида (2.29) или значения у\п\ при л = 0, 1, 2, ... для заданных начальных значений у\п - т], -т-}-1], ... .... j/[m-1] и уравнения вида (2.33). Такие вычисления легко выполняются на счетных машинах, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже и в случае, когда коэффициенты разностных уравнений щ (i = 0, 1, т) с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов - дифференциальных уравнений.

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

y\n-\ = CxZ- + Cz-...CmZl, (2.36)

где Zi (/ = 1,2,..., т) - корни характеристического урав-вения

i-l-... + G„ = 0, (2.37)