Главная страница  Структура цифровых систем 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

Аналогом второй производной непрерывной функции для решетчатой функции служат вторые разности: прямая

&f[n] = &f[n+l]-Af[n] =

f[n + 2]-2f[n+l]+f[n] (2.20)

и обратная

V/[n] = V/[«]-V/[n-l] =

= /[n]-2/[n-I] + f[n-2]. (2.21)

Приведенные выше замечания относительно возможности вычисления прямой и обратной разностей сохраняют свою силу и здесь.

Af[n]

о (п-0 л СпП

Рис. 2.8. Прямая и обратная разности

Могут определяться и высшие прямая и обратная разности. Для вычисления й-й разности возможно использование рекуррентных соотношений

А"! [п] = A-V [п + 1] - A-V fn], V*/ [n] = V*-i/ [n] - V*-V [n - 1]

или формул общего вида

A*/[n]=i: (-i)"Q[«+-v],

(2.22)

v=o k

(2.23)



где биномиальные коэффициенты (число сочетаний)

= (2-24)

Обратные разности обладают важной особенностью. Если решетчатая функция определена только для положительных значений аргумента, т. е. /[nJO при п<;0, то, как следует из (2.23), в точке п = 0 k-я разность

П[0] = /[0] (2.25)

для любого целого положительного k.

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от О до / для решетчатой функции -являются неполная сумма

о [п] = 2 / [т] = 2 / [« - v] (2.26)

т=0 v=l

и полная сумма

сто W = ст [п] -Ь/[п] = а [п + 1] = i: /[т]. (2.27)

Отличие (2.27) от (2.26) заключается в том, что значение f[n] в момент времени t = nT также участвует в формировании результата.

Разностные уравнения. В качестве аналогов дифференциальных уравнений можно рассматривать разностные уравнения (уравнения в конечных разностях). При использовании прямых разностей неоднородные линейные разностные уравнения имеют вид

ЪА-у [п] + ЬАгп-Ху [„] + ... + ьу [п\ = / [п], (2.28)

где / [п] - заданная, а /[п] - искомая решетчатые функции. При f[n\ = 0 уравнение (2.28) становится однородным разностным уравнением.

При использовании (2.23) разностное уравнение (2.28) можно записать в другом виде:

аоУ[« + т] + а1У[« + т-1] + --- + ад[«] = /[«]. (2.29)

Коэффициенты этого уравнения определяются из зависимости

о,= V -1) (2.30)



где биномиальные коэффициенты

г"*" - (т-у)1 /9 чп

""- (fe-v)l(m-ft)I- (-f

При использовании обратных разностей уравнение в конечных разностях будет иметь вид

Ьо"У [п]+b.Vn-y [п]+... + Ь.пУ [«] = /[«]. (2.32)

С учетом формулы (2.23) последнее выражение приобретает вид

аоУ [п] -Ь сху [л - 1 ] -Ь... -Ь с„у [п - т] - / [л]. (2.33)

Коэффициенты последнего уравнения определяются выражениями

V-=0

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения у\п-\-гп\ при л = 0, 1, 2, ... для заданных начальных значений y\G\, у\Х\, .... у[т-Ц и уравнения вида (2.29) или значения у\п\ при л = 0, 1, 2, ... для заданных начальных значений у\п - т], -т-}-1], ... .... j/[m-1] и уравнения вида (2.33). Такие вычисления легко выполняются на счетных машинах, а также не представляют никаких принципиальных трудностей и при ручном счете (кроме, конечно, затрат времени) даже и в случае, когда коэффициенты разностных уравнений щ (i = 0, 1, т) с течением времени изменяются. Это отличает разностные уравнения от их непрерывных аналогов - дифференциальных уравнений.

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

y\n-\ = CxZ- + Cz-...CmZl, (2.36)

где Zi (/ = 1,2,..., т) - корни характеристического урав-вения

i-l-... + G„ = 0, (2.37)




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [ 11 ] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

0.0226