S(a)) = iV

((о-Р)°

Интегрирование изображенной на рис. 3.9, в спектральной плотности по всем частотам дает дисперсию рассматриваемого сигнала

D.-irS(»)d»-lA/*-«fcW-?i. (3.78)

6 Р,

Корреляционная функция

/<-(T)=-icos(uTda) = -5MlcospT, (3.79)

где р = 0,5 (р1 + Ра), 11 = 0,5 (Ра - р,).

Для производной -го порядка дисперсия может быть определена из выражения

. (2*+l)(p2-pi)

= 2(%W + """ - - J- (3.80) Для первой производной из (3.80) имеем

Di = Do(p + J)DoP (3.81)

Для второй производной

D, = Do (Р* + 2РV + ) DoP (Р + 2i,). (3.82)

Формулы (3.81) и (3.82) позволяют по заданным значениям Do, Dl и Ог определить преобладающую частоту р и коэффициент нерегулярности ц.

Корреляционная функция для решетчатого случайного процесса может быть получена из (3.76) подстановкой т = тТ:

H=5fcospmr. (3.83)

Большее приближение к действительности может дать аппроксимация спектральной плотности выражением

Таким образом, спектральная плотность гармонического процесса со случайной начальной фазой в соответствии с таблицей 3.1 может быть записана в виде

S* (Я) = ОоЛ [б (Я - Яо) + б (Я + Яо)],

и она содержит два бесконечных пика типа б-функции на частотах ±Яо.

§ 3.5. Прохождение случайного сигнала через линейную систему

Рассмотрим линейную систему (рис. 3.10, а) с дискретной передатрчной функцией W(z) и приведенной весовой функцией ь„[п], которые связаны между собой формулой z-преобразования

\Г(г)=2КИЬ

при Р -[А,=(1)=Р+р, Как и в случае аппроксимации, изображенной на рис. 3.9, в, здесь оказываются ограниченными дисперсии всех производных случайной величины. Однако этой аппроксимации соответствует более сложное по сравнению с (3.79) выражение для корреляционной функции, которое здесь не приводится.

Гармонический сигнал. Рассмотрим процесс вида л: (О = =» Л sin(pf + i))), где Л и р представляют собой известные амплитуду и угловую частоту, а i)) - случайную начальную фазу с равномерным распределением в интервале от О до 2л. Его корреляционная функция имеет вид К (т) = = DoCOSpT, где дисперсия Оо = 0,5Л.

Для решетчатой функции корреляционная функция /С [т] = D cos ртГ. Эта функция может быть получена из (3.73) при }а-)-0. Спектральная плотность может быть получена из (3.74) также при ja-vO. При этом получается, что S*{K)0 при выполнении условия КТФАВ. При равенстве ЯГ® = 4В в спектральной плотности будет наблюдаться бесконечный пик типа б-функции. Последнее условие может быть записано в виде

Пусть на входе действует центрированный случайный решетчатый сигнал xi[n\ с корреляционной функцией Ki[ti, ft]- Выходной сигнал на основании формулы (2.119)

Рис. 3.10. Линейные системы со случайными воздействиями.

может быть представлен для двух моментов времени пТ и ПхТ в виде

xMi]El w[li]xi[ni-k].

(3.84)

После перемножения левых и правых частей формул (3.84) получим

Х2 [п] х [nj = 1] Ё tn И ип И Xl [п - i] Xl [til - k]. (3.85)

Далее, переходя к математическому ожиданию, можно найти корреляционную функцию решетчатого сигнала на выходе линейной системы

К,[п, til] = i] гптS к-п[k]Кг[п-I, til-к]. (3.86)

Для определения дисперсии выходного сигнала необходимо в последнем выражении положить tii - n. Тогда

D.M= i nW I: t;„[A;]/Ci[n-/. n-fe]. (3.87)