Оно оказывается более жестким по сравнению с полученным выше для бесконечного интервала времени. Показатель колебательности в наихудшем случае здесь будет определяться выражением

yWrnax -

Для заданных числовых значений имеем М„ах = 3, ЧТО превышает полученное выше математическое ожидание показателя колебательности.

общего коэффициента усиления, соответствует Т = Тшах. = = Тс + Д. Тогда условие устойчивости будет

ГЛАВА 4

ОПТИМАЛЬНЫЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ ЦАС ПРИ ИЗВЕСТНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ВХОДНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

§4.1. Общие сведения о синтезе систем управления

В процессе разработки систем автоматического управления и регулирования приходится учитывать весьма разнообразный комплекс требований, связанных с различными их характеристиками. Эти требования можно объединить в некоторые основные группы.

К первой группе следует отнести требования, связанные со статическими и динамическими свойствами. Среди них важнейщее место занимают точностные характеристики. Они определяют ошибки, которые могут иметь место в системе управления в различных режимах. На ранних стадиях развития теории автоматического управления главенствовал детерминистский подход, когда входные воздействия, полезные и возмущающие, задавались в виде известных функций времени. При этом, конечно, нельзя было гарантировать, что в реальной системе все будет происходить подобным же образом.

Затем стал использоваться статистический подход, когда воздействия считались случайными функциями времени, но с известными их характеристиками. Для линейных систем задание корреляционных функций или спектральных плотностей воздействий позволило не только решить задачу об оценке точности рассматриваемой системы, но и спроектировать ее оптимальным образом в смысле получения экстремального (чаще всего минимального) значения некоторой оценки точности.

Такой подход вызвал появление большого числа работ, посвященных решению проблемы оптимального построения систем управления.

Были разработаны критерии качества (критерии оптимальности) в виде функционалов, которые следовало минимизировать в процессе синтеза системы. Чаще всего критерий качества задается в виде интеграла от положительно-определенных квадратичных форм для фазовых координат

<1

г л

1=] 2 blfXlX/+ 2 CgsUgUs

df, (4.1)

где to и ti - время начала и конца работы системы, bif и Cgs - некоторые весовые коэффициенты.

Функционал (4.1) содержит слагаемые двух типов. Первая сумма соответствует его точностной части, а вторая учитывает некоторым образом ограничения на возможные управляющие воздействия.

Введя функционал качества (4.1) или иного вида, можно сформулировать задачу оптимального управления. Пусть X = \\ Xi llnxi - матрица-столбец фазовых координат, а ы = = II Ug IIaxi - матрица-столбец управляющих воздействий, которые принадлежат некоторому множеству и (t) U и считаются допустимыми. Из множества допустимых управлений требуется выбрать такое, которое переводит управляемый объект из начального положения х (to) = в конечное X (ti) = х и минимизирует принятый функционал качества. Это управление и соответствующая ему траектория движения объекта называются оптимальньми. Подобная формулировка является одной из возможных, но не единственной.

Можно, например, сформулировать задачу оптимального управления как такую задачу, когда при работе в течение длительного времени установившееся значение дисперсии ошибки минимально при заданных полезном входном воздействии и возмущениях. Возможны формулировки понятия оптимальности на основе минимизации времени переходного процесса, минимизации потребления энергии и т. п.

Появление оптимальных методов проетстирования характерно не только для области автоматического управления и регулирования. Эти методы находят в настоящее время использование практически во всех областях науки, техники, экономики. Однако достигнутые успехи в части построения оптимальных систем автоматического управления пока еще относительно скромны и в ряде случаев они имеют [гногда методическое, а не практическое значение. Это обусловлено рядом факторов.

системы X, (/ = 1, 2, ... , п) и управляющих величин Ug {д == 1, 2, ... , k), например, в виде