sm+jlQTt (А) /4 1 ос.

Знаменатель в фигурных скобках (4.103) может быть представлен в виде

(- 1%) = [St (Я) -f D.r = у! {l g • (4.106)

При этом должно выполняться условие

Wi iJX) ¥J (- jX) = St (X) + DSt (X).

Рассмотрим выражение в фигурных скобках (4.103). Оно может быть представлено в виде

St (к)

= ¥*(/Я)-С. (4.107)

В формуле (4.107) неизвестен и подлежит определению постоянный коэффициент С. На основании формулы разложения на простые дроби для свободного члена можно записать

У (со) /- DlSt (со) ,(4.10Я)

¥+(со) У Sf (co) + DS(c») 1/S(c») + D,

Здесь возможны два случая. Если степень полинома

Si(X) меньше степени полинома S(X), то C = l/D,. Если степени равны, то коэффициент С должен рассчитываться

по формуле (4.108), причем C<1/D.b-

Теперь можно записать формулу для оптимальной частотной передаточной функции в окончательном виде:

Я* (А) = [¥* ИХ) - CJ = 1 - -f. (4.109)

Введем предположение, что спектральная плотность полезного сигнала может быть представлена дробно-рациональной функцией:

- - (А) (- i%) (4.104)

Тогда формула (4.102) может быть записана следующим образом:

(4. HI)

w* (A) •

Естественно, что вследствие ограничений, накладываемых на реализуемые программы ЦВМ, точного осуществления оптимального построения системы можно и не достичь. В этих случаях оптимальный фильтр будет реализовываться в ЦАС приближенно. Более подробно -см. § 5.5.

Пример 4.4. Рассмотрим случай оптимального сглаживания по условиям примера 4.1, но в дискретном варианте Типовой входной сигнал сле,дящей системы характеризуется спектральной плотностью скорости его изменения (3.59):

201Гз1

В системах с единичной главной обратной связью можно определить частотную передаточную функцию разомкнутой системы

W (У- - 1 я* (А) ~ с -cWUЦ~ (4. пи)

Из последнего выражения видно, что, аналогично непрерывному случаю, полюсы передаточной функции разомкнутой системы совпадают с полюсами спектральной плотности полезного сигнала лежащими в верхней полуплоскости.

Известный вид частотной передаточной функции разомкнутой системы W* (jX) позволяет найти дискретную передаточную функцию W (г) подстановкой jX = 2wT-, а затем w = (z~l){z-\-l)~. Далее в случае необходимости может быть найдена приведенная весовая функция разомкнутой системы Wj, (t) как обратное г-преобразование от передаточной функции W (z).

В задачах управления каким-либо объектом от ЦВМ при известных его передаточных функциях Wo (z) или Щ (jX) может быть найдена требуемая корректирующая программа ЦВМ по требуемой ее передаточной функции D (г) или D* (jX) на основании зависимостей

Wt iJX) =

Спектральная плотность полезного входного сигнала S*(X) = ilF*(A)psr(X) =

TxHi+xl)

Спектральная плотность суммы полезного сигнала и помехи

Sf {X) = SI (Х) + St (Х) = Ло =

, {l+X4l){l+X4t) ° (l+XTs)

Ло = 201

"~ 2Di "~

где Di - дисперсия скорости, а эквивалентная постоянная времени

2 l-rf 2 2Г1 •

Помеха представляет собой дискретный белый шум со спектральной плотностью S* (X) = D. Это могут быть, например, шумы квантования во входном преобразователе.

Для нахождения спектральной плотности входного сигнала можно использовать передаточную функцию какого-либо сумматора, являющегося аналогом интегратора в непрерывном случае. Примем, например, что суммирование осуществляет интегрирование по методу трапеций. Пере-даточная функция подобного дискретного интегратора [29]

Частотная передаточная функция Т 1