В простейшем случае, когда возмущающее воздействие отсутствует, спектральная плотность ошибки

S* (К) = I Я* ЦК) 1" SI (К) = n/jfj),,, (3.109)

где 5(Я,) -спектральная плотность задающего воздействия, Я* (/Я,) - частотная передаточная функция замкнутой системы для ошибки, W* (/Я) - частотная передаточная функция разомкнутой системы. Интегрирование (3.109) в бесконечных пределах дает дисперсию ошибки

™ со

(3.110)

Спектральная плотность выходной величины

5*(Я) = Я*(/Я)Р5(Я)

5(Я). (3.1 II)

где Я* (/Я) - частотная передаточная функция замкнутой системы.

Интегрирование (3.111) в бесконечных пределах дает дисперсию управляемой величины, рассматриваемой в дискретные моменты времени t = nT:

14-А

(3.112)

Для случая, когда возмущающее воздействие приложено на входе ЦАС (рис. 3.10,6), запишем значения ошибки для двух дискретных моментов времени t = nT и ti = niT:

е[п\= 2 he[i]g[n-i]+ t h[q\f[n-q]. (3.113)

£=0 l?=0

еЫ= S he[k]g[n,-k]+ 2 h[l]f[nx-ll (3.114)

где h [n] и he [n\ - приведенные весовые функции замкнутой системы для выходной величины у и ошибки е, связанные.

соответственно, г-преобразованием с передаточными функциями Н(г) и Не (г). Перемножив (3.113) и (3.114) и произведя действия, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (3.90) и (3.91), получим выражение для корреляционной функции ошибки в установившемся режиме:

+ :ft[/]/C/[m-9 + /]-f

+ 2 ЧЯ] 2 he[k\K,f[m-q+k] +

+ 2 Ш 2 h[l]Kfg[m-i + l], (3.115)

i=o г=о

где /Cg [m] - корреляционвая функция задающего воздействия, /С/[т] - корреляционная функция возмущающего воздействия, Ki[m] и /С/§ [пг] - взаимные корреляционные функции. Из (3.115) может быть найдена дисперсия, если положить т = 0:

со со

D, = Ке [0] = 2 Л. т 2 [Щ Kg [k - t\ +

+ 29] 2 h[l]K,[l-q]+ Eh[q]Ehe[mlk-q] +

+ Ehe[qf,h[i]Kt,[i-il (3.116)

Из формулы (3.115) может быть получено выражение для спектральной плотности ошибки посредством использования тех же операций, которые были сделаны при выводе формулы (3.99):

Se {ei<-) = I Не \ Sg (el«>) + \ И (еП р S, (el<t) +

-f Не (е-"") Н (е+«0 Sgf (ei-t) + Не (6+/») Я(е-/«") Sfg (e*"-).

(3.117)

180 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В цифровых СИСТЕМАХ (ГЛ. 8

Переход к псевдочастотам дает

S* (Я)=I т иц г Si (Я)+1 я* (/Я) I sf (К)+

+ я* (- /Я) я* ЦК) Slf (Х) + Щ ЦК) Н* (- Щ Sf (К). (3.118)

Интегрирование последнего выражения в бесконечных пределах дает дисперсию ошибки

Т f S*(K)dX

2з1 J

- со

в частном случае, когда сигналы g{t) и f{f) некорре-лированы, Kgf[rn] = l(fg[m] = 0. Тогда формула для корреляционной функции ошибки (3.115) упрощается:

+ I,h[q]f,h[l]Kf[m-g + l]. (3.119)

Также упрощаются формулы (3.117) и (3.118) для спектральной плотности. Запишем спектральную плотность как функцию частоты:

S* {%) = 1 Я иХ) \ SI (%) +1 Я* (/Я) р Sf (Я). (3.120)

Другой возможный случай приложения возмущающего воздействия в ЦАС изображен на рис. 3.10, е. Здесь можно перенести возмущающее воздействие f{t), как это показано на рис. 3.10, в, на выход. При этом эквивалентное воздействие на выходе

fi{t)-WAp)fit) (3.121)

Если известна спектральная плотность возмущающего воздействия Sf{e>">), то спектральная плотность эквивалентного воздействия на выходе

S, (el-r) = 11J7,„ (/(О) Sf (е/»0. (3.122)

По спектральной плотности S, (е") может быть найдена корреляционная функция Кэ (т) эквивалентного воздействия fi (t). Далее может быть получена корреляционная функция решетчатого сигнала /С» [т] подстановкой т = тТ и спектральная плотность St (Я,) (см. § 3.3 и § 3.4).