§ 2.6. Устойчивость и качество линеаризованных ЦАС

В цифровых автоматических системах устойчивость будет иметь место, если корни характеристического уравнения, полученного приравниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы (2.167),

1 + W (еО = 1 + Ио (ePnDieP) = О, (2.194)

лежат в левой полуплоскости корней, Границей устойчивости является ось мнимых значений (рис. 2.27, а).

О Rew

Рис, 2.27. К определению устойчивости и запаса устойчивости.

Область устойчивости в плоскости величины p=tc + -f /(О может быть отображена на плоскость величины z = exp(pT) (рис. 2.27, б). Для этого необходимо сделать подстановку р = /со и менять затем частоту в пределах от - оо до -f оо. При изменении частоты со комплексная величина z = e будет изменяться так, что модуль ее z==l и аргумент argz = coT. В результате на комплексной плоскости будет получена окружность единичного радиуса. Областью устойчивости оказывается внутренняя часть круга.

Таким образом, в устойчивой системе корни характеристического уравнения замкнутой системы

(?) = ! +Wo (?)D(?) = 0 (g.l95)

ДОЛЖНЫ быть по модулю меньше единицы, т. е. г/1 -< I (i=l, 2, /), где / - порядок характеристического уравнения (2.195), что совпадает с условием (2.38). Так, например, для характеристического уравнения первого порядка

z+A = 0 (2.196)

очевидное условие устойчивости будет иметь вид Л-<1.

Аналогичным образом можно показать, что для уравнения второго порядка

2 + 2 + 5 = 0 (2.197)

путем вычисления корней получаются три условия устойчивости:

1 + А+В>0, I

1-Л + В>0. (2.198)

В<1. ,

Для уравнений более высокого порядка исследование устойчивости усложняется. Для облегчения задачи используется введенное выше ш-преобразование (2.188), посредством которого окружность единичного радиуса (рис. 2.27, б) отображается на мнимую ось (рис. 2.27, в). Это было показано в предыдущем параграфе.

В результате областью устойчивости на плоскости величины W оказывается левая полуплоскость. Поэтому для передаточных функций с -преобразованием могут использоваться обычные критерии устойчивости, справедливые для непрерывных систем.

Рассмотрим, например, характеристическое уравнение (2.197). В результате подстановки (2.187) оно преобразуется к виду

{l-A + B)w + 2{l-B)w+l+A + B = 0. (2.199)

На основании известного требования положительности всех коэффициентов характеристического уравнения устойчивой непрерывной системы условия устойчивости (2.198) сразу могут быть получены из (2.199).

Для определения устойчивости замкнутой импульсной системы возможно использование критерия Найквиста. Для этой цели можно применять передаточную функцию разомкнутой системы, полученную как на основе г-преоб-

разования, так и на основе -преобразования. И в том и в другом случае амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы (устойчивой в разомкнутом состоянии) не должна охватывать точку (-1, /0). При использовании передаточной функции W (г) амплитудно-фазовая характеристика становится периодической функцией с периодом 2лТ~.

Оценка качества ЦАС может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании z-преобразования осуществляется сравнительно легко (§ 2.2), а также посредством различных критериев качества. Для оценки запаса устойчивости, так же как и в случае непрерывных систем, наиболее простым и эффективным оказывается показатель колебательности. Показатель колебательности представляет собой высоту наибольшего пика амплитудной частотной характеристики замкнутой системы, отнесенного к ее начальной ординате (рис. 2.27, г):

M = %i. (2.200)

Он показывает склонность системы к колебаниям. Как и в случае непрерывных систем, получение заданного показателя колебательности сводится к требованию чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не заходила в некоторую запретную область [8], окружающую точку (-1, /0). Это показано на рис. 2.27, д.

Установившаяся точность системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку импульсной системы регулирования можно представить в виде ряда

e[n] = Cog[n] + c[n]+ig[n] + ..., (2.201)

где коэффициенты ошибок Со, Ci, и т. д. представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке Не (г) в ряд Маклорена по степеням р, т. е.

Величины, обратные множителям при производных выражения (2.201), по аналогии е непрерывными систе-