Введем также единичную периодическую функцию б/ [п] симметричного вида (рис. 6.17, б), изображение которой

(6.86)

где - произвольное целое число. Установившуюся периодическую составляющую реакции дискретной системы на функцию 8м1п] назовем периодической весовой функцией Wm [п] несимметричного вида. Она изображена на рис 6.17, е. Центрированное значение этой функции (после исключения постоянной составляющей) обозначим Wm [п].

ujjn] О

-ZN-

-*п о

lOjh],

4 А /7 О

Ь) г)

Рис. 6.17. К определению периодической весовой функции.

Установившуюся периодическую составляющую реакции дискретной системы на функцию б [п] назовем периодической весовой функцией [п] симметричного вида. Она показана на рис. 6.17, г. Центрированное значение этой функции обозначим [п].

Изображение весовой функции WmIh] назовем периодической передаточной функцией Wm{z) несимметричного вида. Центрированному значению [п] будет соответствовать центрированное значение Wm (z). Можно ввести другое определение передаточной функции -как изображения периодической весовой функции на интервале 0 - М. Однако это не повлияет на конечные расчетные формулы.

где Шо, ..., Wm-1 - значения дискрет периодической передаточной функции Wm{z) на интервале 0 - М, Qi{z) - полином, определяемый полюсами передаточной функции W{z), лежащими внутри круга единичного радиуса, г - число интегрирующих элементов. Аналогичным образом можно из формулы (6.87) получить центрированное значение передаточной функции

1Иг) = 1(г)., ,

(г-1Г+1 Qi(2)

-(K)S-fK),Vi-}-...-}-5vi-i2-i + i). (6.88)

В соответствии с изложенным выше

2 ш? = 0, (6.89)

т. е. второй сомножитель (6.88) имеет корень Zi=l.

Пример 6.2. Найдем периодическую передаточную функцию Wm{z) для фильтра с передаточной функцией

W (г) = J (О < d < 1). (6.90)

Изображение сигнала на выходе этого фильтра при использовании (6.84) будет

Ym{z) = -

(z-d)(z-l)

= +--,

Далее находим

(6.91)

й = Л-=---ТГ- (6-92)

В соответствии с изложенным выше и на основании формулы (6.79) для системы с передаточной функцией W (г)

(Шо + +. .. + Wm-iZ-+), (6.87)

В соответствии с правилами разложения на дроби имеем

а+ао = 0,

- Corf+Ci = l,

-Gl(i + Gz = 0,

- a2d-\-as = 0.

Решение этих равенств дает ао = - а,

Gi= l-\-aod= I-ad, a2 = aid~d(l - ad), as = a2d = d{l -ad).

(6.93)

a-2 = Gw-3d = d-3(l-ad), аж-1 = йл1-2Й=<-2(1 -ad). В соответствии с (6.87) и (6.91) имеем

(6.94)

Wm{z)-

(ao + aiZ- + ... + aM-iZ--)-

- (шо + wiz-- + ... + wm-i2r- + ), (6.95)

wikat (1=0, 1, M-l).

Для нахождения центрированного значения Wm (г) определим постоянное смещение на выходе, которое в рассматриваемом случае будет

у, = а,й7(1) = -4. (6.96)

Далее можно определить

Wli (г) = -4-г [(Щ - Ус) + (wi - Ус) +

+ ... + (и;Л1-1-Ус) 2- + 4 =

-(w + wlz + ... + w%i-iZ- + ), (6.97)