§ 4.45

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА

Пусть, например, спектральная плотность имеет вид (3.59):

Представим ее как произведение комплексно-сопряженных величин:

2D г.

1+А 4

2D7T """"2"

= ¥*(А)¥*(-/Я).

Отсюда определяется искомая передаточная функция отбеливающего фильтра (4.90):

2DT3 1+/Х.Г/2

Рассматривая теперь оптимальный фильтр с выделенной отбеливающей частью (рис. 4.12), формирующей сиг-

1 i i i

и[п]

Рис. 4.12. Оптимальный днскретный фильтр с выделенной отбеливающей частью.

нал s[n] из смеси г[п\, можем записать уравнение (4.80) в виде

Kgs \т\ = S [п] 6„fm - «.], • (4.91)

где приведенной весовой функции

m<0,

hi[m\

I О,

(4.92)

соответствует оптимальная передаточная функция Их (г). Корреляционной функции [jn] соответствует спектраль-

ная плотность

stsQ.) = wSф{-X)Sir(X)

* i-jX) •

(4.93)

Подобно изложенному в § 4.3, можно показать, что частотная передаточная функция оптимального фильтра должна определяться в соответствии с выражением, аналогичным (4.39). При этом надо учесть, что приведенная весовая функция связана с реализуемой частью передаточной функции соотношением

hi [т]

{[S,(/X)]4, jX-

г-1 2 г+1 "Г •

(4.94)

В результате для оптимальной частотной передаточной функции Н* ЦХ) = и7*ф {}Х) Щ (jk) имеем

Н* iJX) = -у [Sts (/Я)]+ =

Sgr (IX)

+ Ч* (/X)

(4.95) (4.96)

Формула (4.95) совпадает с (4.39) при замене /со на jX. Таким образом, процедура нахождения оптимальной частотной передаточной функции в дискретных системах оказывается аналогичной непрерывным системам, если вместо обычной круговой частоты использовать псевдочастоту.

Определение минимальной дисперсии ошибки (4.78) в соответствии с изложенным в главе 3 может быть сделано по формулам (4.61), (4.62) и (4.63) при замене круговой частоты со на псевдочастоту X и учете дополнительного множителя (l+0,25X7)-. В результате имеем

= 2 S

S (Х) dX

- со

l+jXT/2f

Sl{X)dX

I (jX) 1 jX) dX 1+АГ/2,2

f \B*U>)?dX

I 1 + jXT/2 f 2я

- CO

1+/1Г/22

т

1 + /Г/2Р

2я J

Переход от частотной передаточной функции оптимального фильтра Н* (jX) к дискретной передаточной функции Н (z) может быть сделан в результате подстановок jX = 2wT-, а затем ау = (г-1) (z+l)-i. Таким образом, оптимальная дискретная передаточная функция замкнутой системы

Я(г)=Я*(4). (4.99)

Эта функция и должна реализовываться в цифровой системе управления.

Системы с белым шумом на входе.- Рассмотрим случай действия на входе цифровой системы помехи типа дискретного белого шума со спектральной плотностью

Si(X) = D, (4.100)

где D -дисперсия шума. Аналогично непрерывному случаю примем, что преобразующий оператор //o(z)=l. Спектральная плотность входной смеси полезного сигнала и помехи

SnX) = SUX) + D. (4.101)

Передаточная функция отбеливающего фильтра определяется из выражения

. = Т.,;ч-[5(Ч + 0#. ,4.102,

Оптимальная частотная передаточная функция замкнутой системы

В другом виде формула для минимальной дисперсии ошибки, аналогично (4.63), будет иметь вид