(5.332)

Уопт -

Р lA3{m-l) qlim)

==j[aT (5.335)

пределения, то при использовании более сложных алгоритмов (т>2) можно приближенно считать, что для шумовой ошибки дифференцирования действует нормальное распределение. На выходе ЦВМ цена единицы младшего преобразователя составит

бl2 = 2°бl7 (5.330)

где а -число младших разрядов, которые отбрасываются в полученном коде второй производной. Если а = 0, то округления на выходе не производится и цена единицы младшего разряда 62 = бхТ". Если а>0, то происходит округление. Дисперсия дополнительной ошибки, которая вносится при этом, будет

сЬ=%-=2--. (5.331)

Эта ошибка может не учитываться, если выполняется неравенство o<ia. Последнее сводится к неравенствам

а < 3,3 lg"/92(m) = 1,65 Ig (m).

Выражение (5.332) позволяет выбрать допустимое за-грубление выходного преобразователя, что снижает его требуемое общее число разрядов.

Как и в случае вычисления первой производной входного сигнала, поставим задачу минимизации среднего квадрата суммарной ошибки

2 -qUfn)+-qAtn) (5.333)

и минимизации амплитуды ошибки

ошах = Лр-+1Г--(?1 (т) + (5.334)

при дифференцировании гармонического сигнала g = = Asin{fit4-4>) со случайной начальной фазой. Дифференцирование (5.333) и (5.334) по периоду дискретности дает условие получения минимальной среднеквадратичной ошибки

1 1

И условие получения минимума амплитуды ошибки

Г» 1 ОПТ - ~о

nm+l

-1 Qiim)

= ix) GM. (5.336)

Подстановка Тёпт в формулу (5.333) дает после деления на средний квадрат второй производной 0,52 и извлечения квадратного корня минимальное значение относительной среднеквадратичной ошибки

Дт1п

3(т-1)

2 (т+1)

т - 1

Сз(т). (5.337)

Подстановка Тоит в формулу (5.334) дает после деления на максимальное значение искомой второй производной Лр минимальное значение относительной амплитуды ошибки

nin / 6l \

т-1 т+ 1

т - 1 2(т+1)

2(т-1)"+

т - 1 т+1

G, (т).

(5.338)

Для решения обратных задач - определения требований к входному преобразователю при заданных значениях Д или Дтах -формулы (5.337) и (5.338) могут быть решены относительно 6i. В результате имеем условия получения для оптимального случая требуемой точности дифференцирования по относительной среднеквадратичной ошибке

т+\ т+1

Oi< -

[Оз (т)]

т + 1 т-1

G4 (т)

(5.339)

и по относительной максимальной ошибке

6i =

ш+ 1

т+1 т-1

ш+ 1

Ge(m)

(5.340)

Введенные выше функции от числа m приведены в таблице 5.15.

Пример 5.5. Определим потенциальную точность, оцениваемую по максимальной ошибке вычисления второй производной угла качки при Л = 15°, Р = 1 рад/с и цене младшего разряда входного преобразователя 6i = = 1 угл. мин.

В соответствии с формулой (5.338) и таблицей 5.15 вычисляем минимальную относительную амплитуду ошибки для различных значений т. Результаты вычислений представлены в таблице 5.18.

Таблица 5.18

Минимальное значение относительной амплитуды ошибки составляет 14,4% при т=4. Требуемый оптимальный период дискретности ЦВМ, вычисленный по формуле (5.336), составляет Гоп = 0,407с. Напомним, что при расчете потенциальной точности определения первой производной этого же сигнала было получено значение относительной амплитуды ошибки 1,74% при более простом алгоритме (т - З). Цена единицы младшего разряда выходного преобразователя составляет здесь при а = 0, т. е. при отсутствии округления, 6i2 = 6iT~= 1 -0,407" = = 6,05 угл. мин/с, а потребное число разрядов

«23,3lg(l-f-) = 3,3lg(l-+

1 •900\

6,05

= 7,2.

Пример 5.6. Определим требования к входному преобразователю ЦВМ при необходимости обеспечить вычисление второй производной рассмотренного в примере 5.5 сигнала с ошибкой Дтах0,01 = 1 %.

В соответствии с формулой (5.340) и таблицей 5.17 рассчитываем требуемое значение 6i при различных числах т. Результаты расчета сведены в таблицу 5.19.