числитель имеет общий множитель z, то можно записать Тогда

(По поводу других возможных случаев см. § 2.2.)

Если выходное воздействие представляет собой симметричную периодическую последовательность с полупери-одбм N, изображение которой дается формулой (2.108), то аналогичная зависимость для изображения периодической последовательности выходной величины на интервале О -Л будет иметь вид

П {г) = Г* (Z) = 5 [У (2) - У„ (2)] =

= Go + aa2-i-b...-bcyv-iZ-v+i, (2.209)

где Уп (z) - переходная составляющая, определяемая полюсами и (2).

Пример 2.4. Рассмотрим входную последовательность в виде прямоугольной волны (рис. 2.11, в), но с полупериодом Л/ = 3 и систему с передаточной функцией

Я (2)=-=.

Изображение периодической последовательности на входе (2.115):

Найдем периодический режим на выходе. В соответствии с (2.209), учитывая, что Я (2) имеет единственный полюс 2i = 0, имеем

О-Ьг + гИг-а)

zs-f 1

:t++)(;/)+"(+) = (i + a)-Ki-«)2--Ki-G)2-.

полупериода с началом отсчета, будет у [0] = 1 -Ь а, у г/ [2] = 1 - G. В следующем полупериоде будет у

3] =

у[0] = (1+А),у[4] = у[5] = -у[1] = -(1-а)ит.д.

§ 2.8. Построение логарифмических частотных характеристик

Передаточная функция разомкнутой ЦАС может быть представлена в виде произведения дискретных передаточных функций ЦВМ и непрерывной части, т. е W {г) = = Wo{z)D{z). Здесь будет рассмотрено построение логарифмических частотных характеристик непрерывной части амплитудной (л. а. х.) и фазовой (л. ф. х.). Построение логарифмических частотных характеристик ЦВМ будет рассмотрено ниже, в главе 5.

Построение логарифмических характеристик наиболее удобно делать в функции абсолютной псевдочастоты, которая определяется формулой (2.190). Целесообразно строить характеристики раздельно для области низких частот (сй<Т-1) и для области высоких частот (cu>T-i).

В области низких частот передаточная функция непрерывной части ЦАС в соответствии с § 2.3 может быть представлена в виде

(2.210)

где / - порядок экстраполятора, а, Gj. .... a.i -некоторые коэффициенты. Для малых частот приближенное выражение для передаточной функции можно найти следующим образом:

W„(eP)g{PW„(p)e-

67- ,„ч„ „., ег

{W„(p)-"}=f 2 ЛпТ-х]г-,

п = 0

jwt-r) е-" dt = l-W, (р) е-Р\ (2.211)

Отсюда следует, что в установившемся периодическом режиме на выходе, если совместить начало положительного

(р)=++„ 2 ттЬ (-

где Ai - коэффициент разложения, а постоянная времени

To-t-J-ti. (2.216)

/«1 Ы1

где Шн (/ -т) - весовая функция непрерывной части с учетом суммарного запаздывания.

Таким образом, для низких частот частотная передаточная функция Wo {el") практически совпадает с точностью до множителя 6/6i с частотной передаточной функцией Wh (/сй)е-/" исходной непрерывной части. Так как для этих частот псевдочастота также практически совпадает с действительной частотой, Я,р«сй, то частотные характеристики можно с одинаковым успехом строить как в функции со, так и в функции 1.

Следовательно, для низких частот (аТ<. 1) построение л. а. X. И л. ф. X. сводится, по сути дела, к построению логарифмических характеристик исходной непрерывной части

Ц (К) L„ (со) = 20 Ig I (/со) I, (2.212)

я]; (1) (со) - сот = arg W„ (/со) - сот (2.213)

с добавлением множителя 6/6i.

Проиллюстрируем теперь это положение для непрерывной части системы, описываемой, например, передаточной функцией соответствующей астатизму второго порядка,

ГШ /„\ (1 +Tip) (1 +ТгР) • (1 /9 91A

Wb {Р) - рЦ1+Т,р)(1+Пр)... (I +ТдР) -

с экстраполятором нулевого порядка. Примем, что все постоянные времени знаменателя (2.214) дают сопрягающие частоты, меньшие чем 2Т-, т. е. Ti > 0,5Т (i = = 1, 2, . ., q). Это предположение сводится к тому, что все изломы асимптотической л. а. х., соответствующей (2.214), расположены в низкочастотной области, для которой справедливо неравенство соТ<2. Разложим (2.214) на простые дроби: