где V {t) соответствует многомерному случайному гауссову процессу с пулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

cov[v{t); v{t-\-%)] = U[v{t)v{t + x)] = R{t)b{T). (4.135)

Здесь R (t) - симметричная положительно-определенная неособенная матрица размером тхт. Предполагается, что переменные и (t), v (i) и х (to) взаимно некоррелированы.

Типовые формирующие фильтры будут рассмотрены более подробно ниже.

Для дискретного случая модель процесса может быть описана разностным уравнением. В качестве переменных состояния могут приниматься значения некоторой решетчатой функции x\k], т. е. дискреты, для п моментов времени. Эти дискреты будут компонентами матрицы-столбца переменных состояния. В рассматриваемом случае матрицу-столбец можно отождествить с некоторым вектором.

Линейная нестационарная дискретная модель процесса для входных воздействий может быть, по аналогии с (4.124), записана в виде матричного (векторного) уравнения:

х[к+1]=Ф[к+1, k]x[k] + B[k]u[k], \

g[k]C[k]x[k]. j -

Здесь X [й] - матрица-столбец (вектор), содержащая п компонент, н [] - матрица-столбец (вектор) сигналов на входе системы с г компонентами, -матрица-столбец (вектор) задающих воздействий, go [] - матрица-столбец (вектор) наблюдаемых величин, содержащая / компонент, ФГ/?+1, -матрица перехода состояний размером пхп, В [к] - матрица входных сигналов размером Ixn.B отличие от непрерывного случая здесь отсутствуют помехи измерения.-

Матричная структурная схема модели процесса для дискретных входных величин в общем случае наличия помех измерения изображена на рис. 4.14. Вместо интеграторов (jinc. 4.2) зцесь использованы п линий задержки, а элементы [ц[к-\-1, k] квадратной матрицы

+ k] ... hnlk+l, k] fAk + U k] ... hnlk + h k]

f,alk + l, k] ... fnAk + U k]

(4.137)

соответствуют коэффициентам передачи с выхода /-й линии задержки на период дискретности Т на вход i-й линии задержки.

Входной сигнал u\k] представляет собой многомерную случайную гауссову решетчатую последовательность типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

cov{w[/2]; u{k-\-m]} =

= IVI {ы [k] и [k + m]} = Q [/г] бо И. (4.13S)

где Q [й] - симметричная положительно-определенная матрица размером гхг, а бо[т] - единичная импульсная функция.

a[h]

в[н] =>©=i> B-f"

u[h]

Рис. 4.14. Матричная структурная схема дискретного формирующего фильтра.

-v[kl ]

(4.139)

В более поздних работах Р. Калмана рассматривается наличие помех измерения. В этом случае вместо (4.136) будем иметь

х[к-{-\] = Ф[к\, Щх[Щ + В[к]иЩ, g,{k] = C[k]x\k] + v\k] = g{k] + x

где ошибка измерения выходного сигнала v[k\ представляет собой многомерную случайную величину типа дискретного белого шума с нулевым математическим ожиданием и корреляционной матрицей

COV {V[к]; v{k + m]} = U{v[к] v{к-f /и]} = Щбо[т],

где R \И\ - симметричная положительно-определенная матрица размером 1x1.

В отличие от сформулированной выше задачи, здесь предполагается отыскание оптимальной оценки в момент времени t = kT по результатам предыдущих измерений.

включая И момент времени t = kT, но при наличии помех измерения. В начальный момент состояние системы характеризуется матрицей-столбцом (вектором) х [0] с гауссовым распределением и заданными математическим ожиданием и корреляционной матрицей (4.133). Как и ранее, здесь предполагается отсутствие корреляционной связи между л:[0], и\]г\ и ьЩ. Матрица Ф[--1, Щ является переходной для разностных уравнений (4.136) и (4.139). Она определяет переход из состояния, соответствующего времени кТ, в состояние, соответствующее времени (+1) Т. Поэтому Ф \к, k\ превращается в единичную матрицу Е размером пхп.

Уравнения (4.136) могут быть записаны также в другой форме, если ввести матрицу Ф\к, к-\], определяющую переход системы из состояния в момент времени {к-\)Т в состояние, соответствующее времени Т. Тогда вместо (4.139) будем иметь

х\ Щ = Ф{к, к-\\х[к-\] + Вг[к]иг[к], \ go [к] = СЩх Щ + v\k\ = g\k-\-\-v\kl ] (4-140)

где BiЩUi{k\ = B\k-\]u\k-\]. Следует заметить, что дискретная модель процесса (рис. 4.14) соответствует непрерывной динамической системе, в которой все переменные рассматриваются только в дискретные моменты времени t=kT {к = 0, ±1, ±2, ...). Поэтому переходная матрица может быть определена из дифференциального уравнения непрерывной системы

= A{t)Ф{t), hit<:h,

при начальном условии Ф (/) = Ф [к, к] = Е для t = (к -1)7 и при Ф(0 = Ф[/е, к-1] для t = kT.

Задачей калмановской оптимальной фильтрации является нахождение наилучшей оценки x{t) переменных состояния системы-аналога, описываемой уравнениями (4.124), на основании измерения наблюдаемого сигнала g{t) на интервале (о. О- Динамическая система, определяющая оценку x{t), называется фильтром. Выходным сигналом фильтра и будет оценка