§ 4.4] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА S01

Далее находим функцию

По формуле (4.108) определяем ко-эффициент

У S (со)+

В соответствии с (4.111) частотная передаточная функция разомкнутой оптимальной системы

Здесь общий коэффициент усиления разомкнутой системы-

Подстановка /X = 2гюТ и ю = (z - 1) (z + 1 )-i дает дискретную передаточную функцию разомкнутой системы

Tw/„. . К[Г(г + 1) + 2т1(г-1)][Г(г+1)+2тг(г-1)] , 2(г-1)[Г(г + 1) + 2Гз(2-1)1

которая должна быть реализована в оптимальной ЦАС.

Прогнозирование. Расчет оптимального прогнозирующего фильтра в дискретном варианте совпадает, в основном, с тем, что было изложено в § 4.3 для непрерывных систем. Для нахождения передаточной функции оптимального фильтра здесь удобно вернуться от частотных функций к функциям аргумента z. Это делается подстановкой \k = 2wT-, а затем ю= (z-1) (z-f l)-i. В результате из общей формулы (4.95) получим формулу, аналогичную (4.65):

1 f S„ (z) z 1 () = w{-b (4.112)

где / - число тактов, на которое осуществляется прогноз, (z) = [S„ (z)-f (z)]+- сомножитель спектральной плотности входной смеси, которому соответствуют корни, лежащие внутри круга единичного радиуса. Знак плюс у фигурных скобок означает операцию выделения реализуемой части передаточной функции, которой соответствуют полюсы внутри круга единичного радиуса.

В частном случае отсутствия помех Sg (г) = ¥ (г) Y (г-). Поэтому формула (4.112) приобретает вид

Н() = -щ{()ги- (4.113)

Для отыскания реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112) можно воспользоваться обратным г-преобразованием:

= 1-41 (г)]. (4.114)

Здесь Ях (г) - передаточная функция, соответствующая реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112). Если /ii„[n] есть искомое обратное преобразование при отсутствии предсказания (/ = 0), то на основании теоремы сдвига /ii [n] = Ai,; [п + /]. Тогда пере.ааточная функция Hi„ (г) будет соответствовать реализуемой части выражения в фигурных скобках (4.112) при отсутствии предсказания. Аналогичным образом для приведенной весовой функции оптимального фильтра можно записать при наличии предсказания h[n] = h„[n +1].

Значение выходной величины фильтра в момент времени t = {n + l)T можно вычислить через переменные состояния, которые представим в виде матркиы-столбца Хо[п] = 1х[п]х[п~\]... x[n - N+l]l, где Л/- порядок разностного уравнения, описывающего фильтр, и фундаментальную матрицу Ф[/], аналогичную матрице (4.69).

Таким образом, для выходной величины фильтра можно записать формулу, аналогичную формуле (4.70):

у[п + 1] = СФ[1]хо[п1 (4.115)

где С = С(у -прямоугольная матрица коэффициентов размером RxN. Здесь R - число отыскиваемых выходных величин фильтра. В одномерной задаче R=l.

Как и ранее, характеристическое уравнение для фундаментальной матрицы должно иметь вид

П (г + г,)П (г + г;) = 0, (4.116)

где Zi (i=l, 2, ..., <7i) - полюсы функции, определяемой вторым сомножителем в формуле (4.112), а г -нули функции ¥ (г). Схема прогнозирующего устройства сов-

g 44] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЛЬТРОВ ВИНЕРА 303

падает с изображенной ца рис. 4.8 при замене непрерывных входных и выходные функций времени на решетчатые функции и замене Ф(т) на Ф[/].

В частном случае, когда помехи отсутствуют, оптимальная передаточная функция без предсказания

Я (z) = = 5iMZiM i /4117)

Здесь, как и ранее, принято, что (г) = ¥i (г) Чз(г). Приведенная весовая функция для этого фильтра /1н[п] = = бо[п] совпадает с единичной решетчатой импульсной функцией. Характеристическое уравнение, определяющее фундаментальную матрицу в этом случае: Wi (г) 42 (г) = 0.

Если прогнозирование производится на фиксированное число тактов / = const, то фундаментальная матрица представляет собой совокупность постоянных коэффициентов. Если необходимо произвести в быстром темпе просмотр будущих значений прогнозируемой величины, то фундаментальная матрица реализуется в виде дискретного фильтра, протекание процессов в котором после выставки начальных условий

Xo[0] = ix[0]x[0-l]x[0-2]...x[0-iV+l]r

должно определяться периодом дискретности Го = Т/т, где /и > 1 - масштаб времени. Этот фильтр должен соотг ветствовать дифференциальному уравнению 4i (г) х хЧ2(г) = 0 с возможностью введения начальных условий.

Ошибка прогнозирования может быть получена из формулы (4.73), если заменить процесс интегрирования суммированием:

е\ i„ = Kg [0] - f; hu [п], (4.118)

где Kg[0] = D„ - дисперсия полезного входного сигнала, а hi\n} определяется формулой (4.114). Формула (4.118) может быть представлена в безразмерной форме:

rl?nin=%=l-2"M- (4.119)

Для вычисления бесконечной суммы в (4.118) и (4.119) можно использовать приемы, рассмотренные в главе 2.