Аналогично проделанному выше, из (5.298) можно получить формулы для вычисления по значениям входной величины в дискретные моменты времени первой производной:

mm m

1=0 ft=i г= о

(5.299)

где Cft - биномиальные коэффициенты, причем Ci - 0, если ik. Формула (5.299) удобна для реализации на ЦВМ.

Рассмотрим теперь более подробно методическую ошибку вычисления на ЦВМ первой производной. Пусть имеется случайный стационарный сигнал g{t), для которого известна корреляционная функция /<" (т) = М [л: (t) x{t-\- т)]. Будем также считать известными [104] корреляционную функцию его первой производной M[g (t) g(t= -Я(т) и взаимную корреляционную функцию сигнала и его первой производной M[g(t)g{t + T)] = M[git-r)g{t)]=K{T). Ошибка определения производной в дискретные моменты времени t=nT может быть вычислена как разность между ее действительным значением g [ti] машинным значением gf„ [п], определяемым по формуле (5.299):

тп]-ё[п]-Т X aig[n-i]. (5.300)

i = 0

Возведем левую и правую части (5.300) в квадрат и определим математическое ожидание, равное среднему квадрату ошибки:

= МШп]- [п]Г} = К [0] - f 2 [т +

i = 0

m - i т т

+ 12 2 ад.ьД[ут]-1-1 2 «И- (5.301)

«=С 1 = 1 i = 0

Относительная среднеквадратичная ошибка может быть получена делением о„ на среднеквадратичное значение скорости изменения входного сигнала о:

(5.302)

Пусть, например, требуется оценить точность вычисления первой производной сигнала типа нерегулярной качки по первой разности (т=1). Корреляционные функции:

/<(T)=De-f*(cos Рт + - sinpT),

-(т) = D(i+P)e-(cos pT-sinpT),

где р - преобладающая частота, р, - коэффициент нерегулярности, D -дисперсия входного сигнала, Dg{[i + ii) - дисперсия скорости изменения входного сигнала. В соответствии с формулой (5.299) при т = 1 получаем Оо = 1 и 01 = - 1. Далее находим

[п] = (йоЯ[п] + aig[n-l]) =-{g[n]-g[n-l]) Т-К

Дисперсия ошибки из формулы (5.301)

о1 = -К[0]-Цаок[0] + а1К[Т] +

= К[0]-г(/С[0]-/ст) + (/С[0]-К[Г]) = 2Dg (х2 + р2

Og ill + Р)-- ~~- sin рг +

cos pr + jsin рг)

(5.303)

Полученная формула (5.303) является точной. При выполнении условий д,Г < 1 и рГ < 1 ее можно упростить, разлагая трансцендентные функции в степенные ряды и ограничиваясь членами низших степеней.

Весьма важен случай дифференцирования входного сигнала гармонического вида. К этому случаю могут быть

сведены ivinorHe практические задачи. Kpoivie того, здесь получаются Becbivia простые и легко обозримые формулы. Пусть рассматривается сигнал вида g = Л sin (Р + я);), где амплитуда А и частота р заданы, а я); представляет собой случайную фазу с равномерным законом распределения в интервале от О до 2л. Для этого сигнала имеем

а = О = 0,5Л% а = 0,5рМ%

/С (т) = 0,5А cos рт, (т) = - 0,5рЛ2 sin рт,

/С(т) = -0,5pM4os рт.

Если т=1, то средний квадрат ошибки дифференцирования можно получить из (5.303) при ц = 0. В результате имеем

P«-f-sinpr+-(l-cospT)

Далее можно определить:

= 12 а„=.

=-я«

Если т = 2, то соответствующие формулы имеют вид gm [«] = [«] - 2g [« - 1] +g [п - 2]) Т-\

= - /([0] - {Ж [0] - 4/ [Г] + [2Г]) +

+ (у [0] - 8/ [Г]+1 [2Г])

0„я«

РМГ« max РГ л „РТ"

Продолжая рассмотрение для т>2, можно показать, что для произвольного числа учитываемых обратных разностей в формуле (5.297) методическая погрешность определяется приближенными выражениями

"" 2(m-fl)2

Л == " Smax

рттт

(5.304)