Подстановка этого выражения в (4.144) дает дифференциальное уравнение, определяющее ошибку оценки:

= л (О 6 (tit) +Bit)u (t) - К (t) [V (t) + C{t)E (tit)].

(4.149)

Матричная структурная схема, соотвегствующая (4.149), приведена на рис. 4.16. Введем корреляционную матрицу ошибок оценки переменных состояния оптимальной оценки:

Р(0 = М[б( 0 е ( 0] =

= М {[х (t) - X (tit)] [X (t) - X (tit)]}. (4.150)

Начальное значение этой матрицы представляет собой диагональную матрицу

Р (д = М {[X (to) - о] [X (to) - Хо]} (4.151)

и предполагается известным. Совокупность начальных значений переменных состояния x(to) характеризуется

B(t)

zrCt]

Г"

Модель процесса

eCt/i)

fc= eft)

"1

Рис. 4.16. Мат[)11чпая структурная схема выработки ошибки оценки переменных состояния.

гауссовым распределением и не зависит от и (t). Математическое ожидание для этой совокупности

M[xito)] = x„. (4.152)

Матричный коэффициент усиления может быть выражен через корреляционную матрицу ошибок

K{t) = P(t)C{t)R-{t). (4.153)

Здесь /?-(0 - матршца, обратная матрице(О, входящей в (4.135). Корреляционная матрица Р (t) может быть

найдена в результате решения матричного дифференциального уравнения

dPM.=.A{t)P{t)-\-P{t)A(f)-

- Р it) С it) R- (t) С it) P{t)+B (t) Q (t) B (t). (4.154)

Корреляционное (дисперсионное) уравнение (4.154) является нелинейным дифференциальным уравнением и представляет собой совокупность 0,5я(я+1) уравнений типа Риккати. Подобные уравнения встречаются в вариационном исчислении, и они связаны с дифференциальными уравнениями Гамильтона. Решение корреляционного уравнения можно представить в виде

P{t)ILit, Ро, to). (4.155)

Здесь предполагается, что заданы начальный момент времени to и положительно-определенная матрица Ро = .Р(/о) • Найденное значение Р [t) позволяет определить оптимальный коэффициент усиления K(t) по формуле (4.153).

Для определения ошибки e - g - y отработки задающего воздействия g (t) = go (t) - v (t) введем корреляционную матрицу ошибок (4.145);

Pem = M{e{t/t)eit/t)}==

= М {С (t) е т е т С (t)} C{t)P {tit) С (t). (4.156)

Формула (4.156) позволяет по известной матрице Р (t/t) определить корреляционную матрицу Р (t/t). Таким образом, алгоритм калмановской фильтрации в непрерывном случае образован совокупностью уравнений (4.144), (4.153) и (4.154).

В стационарном случае матрицы A{t), В (t) и С (t) не зависят от времени. Корреляционная матрица ошибок Р (t) при t-oo стремится к совокупности постоянных величин. Это значит, что в установившемся состоянии и матрица коэффициентов усиления K{t) также будет совокупностью постоянных величин, т. е. фильтр оказывается стационарным. Его уравнение:

==[A-mx{t)yKgo{t). (4.167)

Это уравнение определяет фильтр, совпадающий с фильтром Винера.

Алгоритм фильтра Калмана для дискретных систем.

В дискретных системах устройство для получения оптимальной оценки можно рассматривать как линейный фильтр, на вход которого поступает последовательность наблюдаемых величин go (to), go (к), .... go (4)- Вычисление оценки в случае отсутствия помех представляет собой процесс, в котором используется прежняя оценка и последние значения наблюдаемых величин в какой-либо единственный момент времени. Если предположить, что к моменту поступления /г-го наблюдения была вычислена оценка на основании (/г - 1)-го (предыдущего) наблюдения, то доказывается, что оценка к моменту поступления (-f- 1)-го наблюдения по результатам k наблюдений должна представлять собой линейное выражение вида

x[k+l/k] = Ф*+ 1. /г]X[k/k-l] + K[k]g[k], (4.158)

Ф*[ + 1, к] = Ф[к+1, Щ-К[к]С[к]. (4.159)

Здесь Ф[-1-1, ] - переходная матрица, Ф*[--1, k] - переходная матрица линейной динамической системы, дающей ошибку оценки, К [] - матричный коэффициент усиления. После подстановки имеем

x[k+l/k] = W[k+l, k]x[k/k-l] +

+ К[k] {go ik]-C[k]i[k/k- 1 ]}. (4.160)

Произведение Ф[к-\-1, k]x[k/k - 1] - оценка функции x[k+l, k], полученная на основе первых k-l наблюдений, т. е. оценка прогноза. Выражение в фигурных скобках (4.160) есть разность между результатом -го наблюдения входной величины и оценкой его прогноза на основании наблюдений на момент времени (-1). Матрица K[k] играет роль весовой. При этом произведение K[k] на величину разности в фигурных скобках образует приращение к оценке.

Обозначим ошибку отработки задающего воздействия в виде

е[k/k-l] = g\k]-C [k]X[k/k-I] = g[k]-y[k/k~ll (4.161)

В соответствии с формулами (4.160) и (4.161) может быть построена структурная схема оптимального фильтра