а С/- произвольные постоянные. Из (2.36), в частности, вытекает условие того, чтобы свободное движение системы, описываемой разностным уравнением (2.29), было бы затухающим (условие устойчивости):

1г,1<1 (i = l, 2, т). (2.38)

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используется дискретное преобразование Лапласа, 2-преобразование, ш-преобразование, а также частотные методы.

Дискретное преобразование Лапласа. Для решетчатых функций вводится понятие дискретного преобразования Лапласа в соответствии с формулой

/=*(Р)=]/[«]"- (2.39)

Для смещенных решетчатых функций может быть записано аналогичное выражение:

F*(p, e)=f[rt. е]е-р". (2.40)

Формулы (2.39) и (2.40) можно представить в символической записи:

/г* (р) = {/[„]}, /=-*(р, б) = {/[п, е]}. (2.41)

В приведенных формулах, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, комплексная величина p = c+/cD, где с -абсцисса абсолютной сходимости. Если с<оо, то ряд, определяемый формулами (2.39) и (2.40), сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение.

Как следует из выражений (2.39) и (2.40), изображение решетчатой функции является функцией величины е. Для смещенных решетчатых функций в изображение будет входить, кроме того, параметр е.

Использование -преобразования. Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое г-преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него. Применительно к г-преобразованию ниже будут

п = 0

(2.42)

/=-(2, Е)= е]2-«.

п = 0

В этих формулах введено новое обозначение 2 = 6". Из них следует, что 2-преобразование практически совпадает с дискретным преобразованием Лапласа и отличается только аргументом изображения.

Таким образом, решетчатая функция времени (оригинал) заменяется ее изображением (2-преобразованием). Формулы преобразования (2.42) могут быть записаны в символической форме:

F{z, E) = {/[n, е]}. [ -

Формулы преобразования (2.43) могут быть записаны и для непрерывной производящей функции в виде

F(z) = {ni)}, tnT, 1 F(z, E) = l,{/(m, t==(n + B)T, j •

где n = 0, 1, 2, ...

Ряды (2.42) сходятся, и изображение решетчатой функции существует, если выполняется условие, сформулированное выше для дискретного преобразования Лапласа: с<;оо, где с-абсцисса абсолютной сходимости.

В таблице 2.1 приведены изображения некоторых решетчатых функций, а также производящих функций времени и их изображений Лапласа. В таблице введена единичная импульсная решетчатая функция

I при n =f О,

во[п] = 1 п (2-45)

(О при пфО.

Эта функция играет в дискретных системах такую же важную роль, как 6-функция (функция Дирака) в непрерывных системах.

рассмотрены основные свойства и теоремы дискретного преобразования Лапласа.

Под 2-преобразованием понимается изображение несмещенной или смещенной решетчатых функций, определяемое формулами

Таблица 2.1

Изображения решетчатых функции

Производящая непрерывная функция

оригинал

преобразован не Лапласа

Несмещенная

решетчатая функция

2-преобразование

простое

смещенное

( 1 при ( = 0 I О при (0

1(0-1 (/-Л

21 31

6о [«]

VI [п\ = = А1 [n-I]

1[п]

21 (пГ)з

г-I Гг

(г-IP

rz (г+1) 21(2-l)s

Яг(г2 + 4г+1) 31 (г-1)

rzRft (г) fel (г-1)*+1

[г-1 (2-1)4 I 2е , г-fl

2! [г-1(г-1)2 (2-1)з

Зе (2 +1)

2-1 "(2-1)2

22-}-4г+ 1

(2-I)s (2-1) k

2 A(2-t)v + 1

.ft-v

v=-0