б(т) = 0, тфО,

б(т)А=5 6(Т)Т = , 8>0.

(3.38)

Аналогичное определение может быть сделано и для функции 6 (сз).

При анализе автоматических систем в рассмотрение вводится также нормированная спектральная плотность, являющаяся изображением Фурье нормированной корреляционной функции (3.29):

а(со) (3.39)

~ S»(co)do3

- оо

где спектральная плотность S" (аз) соответствует центрированному процессу (х - х) и, следовательно, является изображением Фурье корреляционной функции К(т), а D -дисперсия.

Аналогично введенному понятию взаимной корреляционной функции могут рассматриваться взаимные спектральные плотности Sxij{(i>) и 8ух{ч>), являющиеся изображениями Фурье Rxyi) и Нух{т:). Взаимные спектральные плотности также являются мерой связи между двумя случайными величинами. При отсутствии связи взаимные спектральные плотности равны нулю.

Введем теперь понятие спектральной плотности стационарного решетчатого процесса как двустороннего 2-преобразования корреляционной функции:

-5(2)= 2 R[m]z-" = F(z) + F(z-)-R[0], (3.40)

m=-оо

где F {z) представляет собой г-преобразование корреляционной функции R[m].

Аналогично непрерывному случаю можно ввести понятие спектральной плотности как функции круговой

НИИ Фурье, в таблице используются четные импульсные функции б(т) и б (аз). Функция б (т) расположена симметрично относительно начала координат и может быть определена следующим образом:

частоты:

= F + F (е-/"-) - R [0], (3.41)

или, при учете четности R [т] и сопряженности комплексных величин f (е») и F(e-»),

S (е/*"-) = [0] + 2 2 ["г] cos wmT =

= 2ReF(£ ;-/?[0]. (3.42)

Формулы (3.41) и (3.42) могут быть записаны и для случая 80, когда рассматривается случайная решетчатая функция х[п, е], корреляционная функция R[m, е] и спектральная плотность S (е*», е).

Формулой обращения для спектральной плотности является преобразование Фурье [139], вычисляемое на интервале ±лТ-:

Rim] = S 5(е»)е"Гйаз =

-я/г

S (е/»г) cos атТ dw. (3.43)

Если в (3.43) положить т = 0, то будет получен средний квадрат случайной решетчатой функции:

xn] = R[0] = \ S(e/»)cd = -я/г

SieKnda. (3.44)

Если рассматривается центрированный процесс с нулевым математическим ожиданием, то интегрирование спектральной плотности дает дисперсию случайной величины, рассматриваемой в дискретные моменты времени пТ:

я/г я/Г

D = \ S«(eOw = J \ S« (е») dco. (3.46) -я/г 6

При использовании спектральной плотности S (е», е) интегрирование дает средний квадрат решетчатой функции рассматриваемой в дискретные моменты времени (п + е)Т:

(3.46)

Средний квадрат огибающей решетчатой функции x{t) может быть получен интегрированием результата, даваемого формулой (3.46), по смещению е в пределах от О до 1:

1 1 я/г

о 0 0

Аналогичные формулы могут быть записаны для дисперсии.

Спектральная плотность может быть представлена как функция псевдочастоты. Так как имеют место равенства

еКт-£ j£o = .

1-Ay то можно положить

l+Ai 1-А \- 1\ I

1 + А

5*(Я) = 5

\1-А

= 2ReF

1-А-;

R [0]. (3.48)

Формула обращения для S* (к) приобретает вид

Т -,т

l+Ay 7

1-Af

S* (Я)

1+А I

/2marctg - ,S* (%) d%

p S* (\) cos [im arctg>. j

1+A-l

(3.49)