Сумма в правой части (2.107) представляет собой изображение решетчатой функции на интервале 0 - М.

Для симметричной функции f[n] = - f[n-\-N] аналогичным образом можно получить

= То" 2 = 108)

Найдем, например, изображение симметричной периодической решетчатой функции, показанной на рис. 2.11, е,

Симметричная периодическая функция (2.108) всегда является центрированной, и для нее сумма ординат за период

2N - 1

Ц /и = о.

Это не относится к несимметричной периодической функции (2.107), для которой сумма ординат за период может быть отличной от нуля, если эта функция содержит некоторую постоянную составляющую,

fo-w 2 tb

Несимметричная периодическая функция может быть центрирована выделением постоянной составляющей. Если (2.107) содержит постоянную составляющую, то уравнение Л(г) = 0 не должно иметь корня Zi=l. Действительно, при наличии такого корня формулу (2.107) можно

Отсюда следует:

/()=7ГТ 2 ППг--. (2.107)

упростить:

гЛ(г) г(г-1)Л1(г)

г-1 (г-[)(1+г + г2+...+г-)

гЛ1 (г)

1+z + z2 -... + 2-

где Л1(г)(г-1) = Л(г).

Если же Л (г) = О не содержит корня Zi = 1, то в изображении периодической функции (2.107) можно выделить постоянную составляющую

2А (г)

(z-l)(l+z + z2+... + z-) ЛР (z

"Г . . . о . . - 1

Второе слагаемое (2.109) представляет собой центрированный несимметричный периодический процесс. Полином Л" (г) имеет наивысшую степень (М -2). Коэффициент разложения а = Л(1)М-.

Для получения изображения внутри периода центрированной решетчатой функции, изображение которой соответствует второму слагаемому формулы (2.109), последнее следует привести к виду (2.107):

р гЛ°(г) г(г-\)АЧг)

,+г+г= + ...+г«- ~ г« -1 ~

= 7 = 2мlг- (2.110)

Найдем, например, изображение периодической функции, представляющей собой единичную дискрету, повторяющуюся периодически через каждые М тактов. В соответствии с (2.107) изображение этого периодического процесса будет

() = ЖЗГ*=(г-1) (l+z-fz= + ...+z«->)-Разложим F (г) на слагаемые:

F{z) = z

а I

г-1 l+z + z= + ...-f2-

1 [+2г + Зг + -- + (А-1)г~

2-1 Ц-г-Нг2--...--г

.21 и,Л[ -1

= Fi(2)-fF2(2).

уи-Г

М~-1

- 2 м-

По изображению (z) можно найти значения дискрет рассматриваемого центрированного процесса: /[0] =

= (М-1)М-\ /[1] = П2] = ... = /[М-1] = -м-1.

17. Площадь огибающей смещенной решет-чатойфункции. Площадь огибающей смещенной решетчатой функции, равная интегралу от производящей функции f(t):

оо 00 1 1 оо

S,= f(t)dtT 2 Пп,г]йет[ 2 П». е] de.

о п=0 О о п=0

На основании (2.72) эта площадь 1 1

5i = r5/i(e)de = r (1, e)de. (2.111)

Рассмотрим, например, площадь огибающей функции g-a(n+E)r На основании таблицы 2.1 сумма дискрет этой функции

/i(«)= 2 e-«"+-> = F(l, 8) = - j..

Интегрируя последнее выражение по е, имеем

18. Сумма к.вадратов дискрет решетчатой функции. Рассмотрим сумму квадратов дискрет

Центрированный процесс определяется вторым слагаемым последнего выражения:

17/ч г 1+2г+Зг2 + ... + (М-1)г- aW- 1+г+г2 + ...+ 21-1

г-1 1+2г.+ Зг2 + ... + (М-1)г~