Если Л2>0, то, аналогично проделанному выше, можем записать

= (Л 1 + Ла) (Ра - Pi) = = D?. (5.34)

Если Ла <: О, то из условия Л1 + Ла = 1 следует, что I Ла I = I 1 - 1 < I 11- Поэтому переход от арктангенсов к аргументу в (5.34) будет приводить к увеличению суммы, находящейся в квадратных скобках. Следовательно, и в этом случае De<De.

Эти рассуждения можно продолжить и показать, что для передаточных функций разомкнутой системы более сложного вида

по-прежнему будет выполняться условие DDc при любых спектральных плотностях скорости изменения входного сигнала, если корни характеристического уравнения замкнутой системы оказываются вещественными и отрицательными.

Рассмотрим теперь систему с астатизмом первого порядка при использовании передаточной функции разомкнутой систелш вида

Выберем постоянную времени так, чтобы излом асимптотической л. а. х. (рис. 5.5, б) совпадал с изломом запретной области, т. е. Г1 = соэЧ где соэ определяется формулой (5.15).

Для того чтобы учесть отклонение асимптотической л. а. X. от действительной в точке а) = ©э. общий коэффициент усиления следует увеличить на 3 дБ, положив

/Ci=K2-j/". (5.37)

Примем опять условие, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы

Tip + (1 + ГаЛЧ) p + Ki = Ki{l- Тгр) (1 -i- Тар) = О (5.38)

868 синтез цас при неизвестных характеристиках [гл. 8

были вещественными и отрицательными. Положим, что Ti>T2, и найдем действительную дисперсию ошибки

П - А f N{l + 4>T,)da

Pi Bi

(5.39)

Рассмотрим первый интеграл J { Nda

Коэффициенты разложения

Ti-Tg Ti Та

Выше было показано, что здесь выполняется условие (5.34).

Второй интеграл в формуле (5.39)

п), кг (1 + аЧ;) (1 + (0=1) = Р.

Коэффициенты разложения

Лз=-.. /14=. (5.43)

Проинтегрировав формулу (5.42), получим

arctg Pad-arctg PiTi , arctg Р-Да-arctg P1T2

"г-jiA:f(T?-Ti)L 3 "1-Т-Н1 3

Остаточные члены рядов удовлетворякэт неравенствам

о<д.<Рр. о<д.<Рр.

0<Дз<Рр. 0<Д,<.

кроме того, имеют место неравенства Д1>Д2 и Д8> >Д4. Поэтому суммарный остаточный член

Д = Д1-Да + Дз-Д4>0. Из последнего условия следует, что

Суммарная дисперсия ошибки

0. = Л + Л<=02. (5.47)

Аналогичным образом можно показать, что при использовании передаточной функции разомкнутой системы более сложного вида:

W (п) = Ki(\ + Tzp) .с

Р Р{1 + Т,р){1 + Пр)...0 + ТпРУ

будет выполняться условие De < D?, если л. а. х. системы проходит так, как это гюказано на рис. 5.5, б для случая вещественных и отрицательных корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Следует заметить, что совпадение изломов асимптотической л. а. X. и запретной области (рис. 5.5, б) не является обязательным условием. Можно сдвинуть излом асимптотической л. а. х. (изменить постоянную времени Ti) влево или вправо. Однако при этом действительная л. а. X. (с учетом отклонений от асимптотической л. а. х.)

Разложим в степенной ряд арктангенсы, входящие в выражение (5.44):