5-<т1коИ. (6-308)

12 12Т2

которое сводится к неравенству

a<l,65lgF„(m). (5.309)

При невыполнении неравенства (5.309) вопрос об ошибке квантования на выходе ЦВМ должен быть дополнительно исследован.

Рассмотрим теперь возможность оптимизации алгоритма вычисления при дифференцировании гармонического сигнала. Такая постановка задачи возможна вследствие того, что изменение периода дискретности и числа учитываемых обратных разностей по-разному отражается на методической и шумовой ошибках.

Для гармонического входного сигнала эта задача имеет простое аналитическое решение. Потребуем минимизации результирующей среднеквадратичной ошибки, квадрат которой при дифференцировании сигнала g (t) = = А sin (Р/ -f гр) будет

В = а- = а-+а7-+-JFo(m). (5.310)

Дифференцирование этого выражения по периоду дискретности и приравнивание производной нулю дает оптимальное значение периода дискретности:

И"Н]""". (5.3..)

Подстановка найденного значения в (5.310), деление на дисперсию входной скорости 0,5рМ* и извлечение квадратного корня дает минимальное значение результирующей относительной среднеквадратичной ошибки, которое может быть получено при оптимальном выборе

разрядов в вычисленном коде первой производной. Если отбрасывается а младших разрядов, то в выходном преобразователе будет би = 2"6ir . Однако это вносит ошибку округления на выходе ЦВМ. Ошибка округления не будет влиять на точность, если выполняется неравенство

периода дискретности:

т Yт-\-1

1 р , ,f <«+)

(5.312)

Задаваясь различными значениями т, можно при заданном значении величины Л/61 вычислить А, по формуле (5.312) для каждого значения шив результате определить минимальное значение А" при вариации т.

Решение этой задачи не представляет особого труда. Для облегчения расчетов в таблице 5.12 приведены значения функции Fi{m).

Таблица 6.12

В практических расчетах больше интереса представляет решение обратной задачи - нахождение требуемого числа разрядов входного преобразователя или, что все равно, отношения Л/бх, при которых обеспечивается получение заданного значения относительной среднеквадратичной погрешности А. Если считать, что период опроса выбран оптимальным образом, то, положив А=Аэ, из (5.292) находим

61 =

т+ 1

;ЛА "

т/--гт 6

т у m+l

ko(m)

-, s

m+ 1

FAm)

(5.313)

Значения Fiim) приведены в таблице 5.12.

Возможна другая постановка вопроса оптимизации, если в качестве критерия оптимальности принять минимум максимальной ошибки вычисления производной. Тогда вместо (5.310) следует рассмотреть формулу для

.-im-l-l

(5.315)

Далее, подставляя значение Гопт в (5.314) и деля на максимальное значение gmax = -4, получим минимальное значение максимальной относительной погрешности:

Am+l

2(m+l)

т т+ i

0,75Fo(m)~"=mF,(m). J \ J

(5.316)

Для решения обратной задачи - выбора числа разрядов входного преобразователя при заданном значении Дтах -формулу (5.316) МОЖНО привести к виду

(т+1

0,75Fo (m)

-I 2

FAm)

(5.317)

Для удобства решения задачи минимизации Дэтах или 6i при вариациях величины т функции Fg (m) и F (пг) даны в таблице 5.12.

Пример 5.3. Определим потенциальную точность вычисления первой производной на ЦВМ, характеризуемую максимальной ошибкой сигнала вида g= А sin {fit +), требуемый алгоритм и период дискретности, если Л = 15°, Р=1с", а 6i=l угл. мин. В соответствии с формулой (5.317) минимальное амплитудное значение ошибки

максимальной ошибки

Отах = Ом + Ок =- -- (5.314)

В выражении (5.314) принято, что максимальные ошибки oj" и о" складываются, что не противоречит физике явления, так как частоты изменения методической и шумовой ошибок отличаются обычно на несколько порядков. Дифференцируя (5.314) по периоду дискретности и приравнивая производную нулю, можно получить оптимальное значение для этого случая:

iYmAViU