Будем рассматривать нелинейную характеристику как кусочно-линейную с наклонами отрезков Gi = 0, а-оо и йз = 0. Второй участок на интервале {Ь, 6+Ал;) заменим наклонной прямой с коэффициентом az = c/Ax. Тогда, аналогично изложенному выше,

<jr=nm£P(b<x<b+Ax)=c§ = c ф), (3.227)

где О (Ь) - плотность вероятности в точке л: = Ь. Для нормального закона распределения

OxV2n

ехр

(3.228)

Обобщая формулу (3.228) на случай наличия N скачков, имеем

9" =

"а/2я

Сгехр

(3.229)

Скачку d приписывается положительное значение, если положительному приращению х в районе скачка соответствует положительное приращение выходной величины F или отрицательному приращению х соответствует отрицательное приращение F. Формула (3.229) удобна для определе-ния cf> в случае релейных характе- ристик.

Несмотря на приближенность расчетов по методу статистической линеаризации и возможность использования более точных методов исследования на ЭВМ, в некоторых случаях его применение позволяет получить прозрачные и наглядные результаты по поведению нелинейной системы управления при случайных воздействиях.

Ниже приводятся некоторые результаты по расчету F и q° для типовых нелинейностей при нормальном законе распределения величины x{t) или, что все равно, при нормальном законе распределения входного воздействия g[l).

Рис, 3.21. Разрыв непрерывности в характеристике.

Идеальная релейная характеристика. Эта характеристика изображена на рис. 3.22, а. При положительном значении % в соответствии с формулой (3.215)

• 1 /х-JcY

-со J

где интеграл вероятностей для и = х/ах

ф Ш = Ф = Vi i (- т) -У- (--зз!)

Числовые значения интеграла вероятностей имеются в справочниках. Для отрицательных значений х результат получается аналогичным, но с обратным знаком.

с сб

X 0,4

-С о,г о

0,8 0,6 0,4 0,2

I Z х/б О I

2 х/б

а) S) в)

Рис. 3.22. Характеристиш! идеа.пьного релейного звена.

Зависимость относительного значения смещения на выходе нелинейного звена f/c от относительного значения смещения на выходе xjOx для нормального закона распределения входной величины при х>0 показана на рис. 3.22, б. Характеристика F [х) имеет симметрию относительно начала координат (нечетная функция), поэтому случай х<;0 может быть получен из изображенной характеристики инвертированием знаков х и F.

Линеаризация разложением в ряд Тейлора дает из (3.230) эквивалентный коэффициент передачи регулярной составляющей в точке х = Хо для малых отклонений от

этой точки:

с -.г 2 г 1 /JCoY

в частном случае при JCo = 0 имеем

(3.232)

(3.233)

Эквивалентный коэффициент передачи случайной составляющей в соответствии с формулой (3.219) будет

= ;f ф1(Х, Ох).

(3.234)

В соответствии с формулой (3.229)

сУ2я

= „ф2(х, 0.). (3.235)

Полученные функции щ и фг построены на рис. 3.22, в. Эти функции являются четными, т. е. фх (- х, Ох) = = ф1(3с, Oj,) и ф2( -X, а) = ф2(х, Ох). В частном случае, когда Х = 0 и F = 0, эквивалентный коэффициент передачи из формул (3.234) и (3.235) будет равен, соответственно,

= .У Я =90 = 0.8-.

(3.236)

Релейная характеристика с зоной нечувствительности.

Эта характеристика показана на рис. 3.23, а. Аналогично изложенному выше можно выразить математическое ожидание выходной величины через интеграл вероятностей. Для случая 0<x<fc получаем

Р =

\ у.

Для случая 0<fc<x, соответственно,

(3.237)