g 2.7] РАСЧЕТ ВЫНУЖДЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ И5

мами могут называться соответствующими добротностями. Например, добротности по скорости и по ускорению будут

/<1 = сГ, К2 = 2с1\ (2.203)

Вычислим, например, два первых коэффициента ошибок для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

где cf = e-/>.

Находим передаточную функцию по ошибке:

I (Z-i){Z-d)

Не (г)

I+W(3) (z-l)lz-d) + KT(l-d)z-

Подстановка в это выражение р = 0 или z==l дает коэффициент Си = 0. Для получения коэффициента Ci находим первую производную:

dHeieP KT\\-d){/-zd)

dp ~ [(z-~\)[z-d) + KT(\-d)zf

Подстановка г = 1 дает коэффициент Ci = К~, а также добротность по скорости Ki = Ci = K.

§ 2.7. Расчет вынужденных периодических режимов

Если на входе замкнутой системы (рис. 2.12) действует синусоидальная последовательность

g [«] = ёгаах sin (СОПГ + ф),

то расчет синусоидальных последовательностей у[п] и е[п] может быть сделан на основе формул (2.184) и (2.186) при использовании передаточных функций замкнутой системы.

Так, например, амплитуда ошибки (точнее, верхнее граничное значение синусоидальной последовательности для ошибки)

ет.. gma.l Не г) \ (2.204)

и сдвиг по фазе

\ = атёНе{е<, е). (2.205)

В общем случае негармонической периодической последовательности с периодом М (см. § 2.2) она может быть

представлена в виде суммы конечного числа гармоник:

ЛГ 2л

*=-w

где Л -целая часть М/2, а коэффициенты разложения

М - 1 2л

Для каждой гармоники в установившемся режиме может быть сделан расчет в соответствии с изложенным выше для синусоидальной последовательности. Поэтому в установившемся режиме для ошибки можно записать

М 2л

е[п,г] = 2 нА)%к, г)с", (2.206)

где Не [ik, ej - значение частотной передаточной функ-

ции, полученное из Не {г, е) подстановкой г = е .

Аналогичным образом по передаточной функции Н {г, е) может быть получена для установившегося режима выходная величина у[п, е].

Более простой метод заключается в следующем. Рассмотрим, например, задающее воздействие g\n\, представляющее собой периодическую последовательность, изображение которой (2.107):

г = 0

где Со(z) -изображение g{n\ на интервале О -УИ. Пусть рассматриваемая последовательность действует на входе системы с передаточной функцией Н {г). Тогда изображение выходной величины

У (г) = = Я (г) С (г) = У„ (Z) -f К» {г)

можно представить в виде суммы изображений переходной составляющей Ya{z) и установившегося периодического режима У (z).

§ 2.7] РАСЧЕТ ВЫНУЖДЕННЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ U

Первая составляющая определяется полюсами функции Я (г) и с течением времени затухает, так как система предполагается устойчивой. Периодическая составляющая на выходе может быть представлена в виде

где (г) - изображение у\г\\ на интервале О -Л1 в установившемся режиме, которое и является искомой величиной; коэффициенты Gq. о,м-х должны быть определены

при разложении на сумму дробно-рациональных функций Y(z) и y(z). Для этой цели могут использоваться известные методы, например теорема разложения. Так, если степень Yx {z) равна степени Fg (2) и Ух {г) = zY (z), то

где Zq (9=1, 2, Л1) -корни уравнения 2 - 1 = 0.

Другие возможные случаи использования теоремы разложения рассмотрены в § 2.2.

Однако при Л11 использование формулы (2.207) сопряжено со значительными трудностями. При невысокой степени знаменателя В {z) удобнее найти переходную составляющую Yz), а затем периодическую У"(г) = = У (z) - Уп (z). Далее можно найти

П(г) = 2[Г(2)-У„(г)] =

= " = «0 + + ... + «;и-12-л+1. (2.208)

Так как полюсы И (г) известны, то отыскание переходной составляющей не представляет труда. Так, например, если степень числителя Y{z) меньше степени знаменателя и полюсы Н (z) не кратные, то

где Zj(i= 1, 2, /) -полюсы Н(г). Если степень числителя y(z) одинакова со степенью знаменателя, но