Разность е (t) = ei(t) вг {t)... е„ {t)\\ между требуемым X it) и действительным х (t) значениями переменных состояния представляет матрицу-столбец ошибок оценки

B{t)=x(t)-x{t). (4.141)

Здесь принимается условие (4.9) несмещенности оценки x{t), которое может быть записано также в виде

М[б(0] = 0. (4.142)

При этом оценка x{t) должна минимизировать функционал качества (4.11), представляющий собой квадратичную форму. Матрица Г размером пхп определяет весовые коэффициенты и является любой положительно-определенной матрицей.

Матрица-столбец ошибок (4.141) может быть записана в иной форме:

B{ti/t)==x(ti)~x{tiJt), (4.143)

которая означает, что рассматриваемая оценка л; (/i/O в некоторый момент времени ii по данным наблюдений на интервале (о, О-

Минимизация функционала качества (4.11) означает,

что оценка x(ti/t) полезного сигнала x(i) удовлетворяет условию минимума дисперсии для каждой компоненты матрицы-столбца ошибки (4.143).

При ti<zt получается задача сглаживания, при ti = t - задача фильтрации и при i> -задача оптимального упреждения (прогнозирования).

Алгоритм фильтра Калмана для непрерывных систем. Как следует из изложенного выше, з методе оптимальной фильтрации Калмана приняты два предположения. Первое предположение заключается в том, что модель формирования входного сигнала (система-аналог) представляет собой линейную, в общем случае нестационарную динамическую систему, возбуждаемую белым шумом. К этому следует добавить, что структура модели сигнала должна быть известна точно. Если модель точно не известна, то все последующие расчеты могут оказаться несостоятельными.

Второе предположение состоит в том, что наблюдаемый сигнал содержит в качестве аддитивной составляющей

помеху типа белого шума. Принятие гипотезы белого шума не является обязательным. Возможно расширение метода на случай окрашенного (коррелированного) шума, что приводит к некоторому усложнению модели входного сигнала [106].

Алгоритм оптимальной фильтрации Калмана включает в себя следующие составные части:

1) дис{)ференциальное уравнение оптимального фильтра (оптимальной системы автоматического управления), на вход которого поступает наблюдаемый сигнал с выхода системы-аналога и который вырабатывает наилучшую оценку переменных состояния системы-аналога (наилучшее воспроизведение управляемой величины или величин на выходе системы управления);

2) дифференциальное уравнение для ошибок оптимальной линейной оценки (ошибок воспроизведения управляемой величины);

3) выражение для матричного коэффициента усиления оптимального фильтра через корреляционную матрицу ошибок оценки;

4) нелинейное дифференциальное уравнение для корреляционной матрицы ошибок оптимальной линейной оценки (корреляционное уравнение);

5) формулу предсказания при решении задачи упреждения.

Рассмотрим без вывода основные формулы, определяющие алгоритм калмановской фильтрации.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра,

наилучшим образом определяющего оценку x{t/t), записывается в матричной форме следующим образом:

iJL А (/) t, () + к (t) [go (t) - с it) X т\- (4.144)

Введем обозначение

во т = С (t) [X it) - X (t/t)] = go (t) - у (t/t). (4.145)

Здесь ( /) -совокупность выходных величин системы управления (в частном случае одна выходная величина), связанных матрицей С (t) линейным образом с совокупностью переменных x{t/t). Тогда дифференциальное урав-

нение оптимального фильтра можно привести к виду

=A{t)x т+к (t) во т. (4.146)

Матрицы Л (/) и С (О совпадают с аналогичными матрицами формирующего фильтра. Матрица К (t) представляет собой матричный коэффициент усиления оптимального фильтра.

Структурная схема оптимального фильтра, соответствующая дифференциальным уравнениям (4.144) и (4.146), изображена на рис. 4.15. Из рис. 4.15 следует, что оптимальный фильтр содержит модель формирования полезного

Модель процесса

J- и

xit/t)

Рис. 4.15. Матричная структурная схема непрерывного оптимального фильтра.

сигнала, осуществляющую слежение за входным сигналом g-o (0. Сигнал go if) в общем случае является многомерным, но может быть и одномерным.

Так как все параметры формирующего фильтра предполагаются известными, то процесс расчета оптимального фильтра сводится к определению матричного коэффициента усиления Kit). Для случая оптимального предсказания Р. Калман получил следующее равенство:

x(txlt) = (b(tx, t)x(tlt) iht).

(4.147)

Этот результат совпадает со случаем использования винеровской фильтрации (см. § 4.3).

Ошибка оценки переменных состояния может быть записана в виде

B{tlt)=x{t)~x{tlt), (4.148)