Два последних уравнения можно свести к одному, исключив при этом двойной аргумент в корреляционной матрице:

Р[Щ = [1-{Ф[к, к-1]Р[к-1]Ф[к, k-l] +

+ B[k]Q[k]В[k])С[к]{С[к]{Ф[к, k-l]P[k~l]x Xф [ft, k-l] + B[k]Q[k]B [k]) С[k] + RX х{Ф[к, k-l]P[k-l](iy[k] + B[k]Q[k]B[k]). (4.171)

Решение этого нелинейного разностного уравнения и определяет корреляционную матрицу Р[к].

В соответствии с уравнениями (4.168)-(4.171) на рис. 4.18 изображена структурная схема оптимального фильтра совместно с моделью процесса и блоком выработки коэффициентов усиления (весовых коэффициентов). Как и ранее, корреляционная матрица ошибок может быть определена на основании формулы, аналогичной (4.167):

Ре [k/k] C[k]P [k/k] с [k]. (4.172)

Эта матрица может быть использована для оценки ошибок отработки задающих воздействий. Как уже отмечалось выше, в реальных системах управления невозможно получить мгноьгнную реакцию в момент времени t = kT на входной сигнал, поступавший в тот же момент времени. Поэтому схема на рис. 4.18 является идеализированной. В реальных системах управления приходится отступать от этой схемы и использовать субоптимальные системы.

В заключение отметим некоторые обобщения метода оптимальной фильтрации Калмана. В изложенных выше основах предполагалось, что помеха представляет собой белый шум. Возможна постановка вопроса оптимальной фильтрации и в тех случаях, когда эта помеха представляет собой «окрашенный» шум [106].

Требование того, чтобы дисперсии входных случайных процессов были заранее известны, может быть снято. В работе [119] принят метод, согласно которому законы распределения случайных процессов считаются нормальными, но с неизвестными дисперсиями. В результате предлагается оптимальный фильтр, который, наряду с оценкой переменных состояния процесса, позволяет дать оценку

Р{И-1/Н-1]

р[и/ичи[н]фмм

PWM]

ФМР[Ш-1МиМ*ШбШ1й Елок ВыраБотка

--г,-И бесоЬьк

коэфсрацаентой.

Plk/ki]

r=p[hjmmmpMmmf

Модель процесса

Оптимальный щильтр

х[И/И]

Рис, 4,18, Матричная схема оптимального фильтра при наличии помех измерения.

§ 4.6. Формирующие фильтры

В одномерных задачах управления при задании непрерывного формирующего фильтра в соответствии с матричным уравнением (4.124) достаточно рассматривать одномерный белый шум (г=1). Если пока ограничиться случаем, когда матрица-столбец задающих воздействий сводится к единственной величине g (О, то дополнительно получим условие 1=1. Тогда помеха наблюдения также сводится к единственной величине v (t).

Дифференциальное уравнение системы, моделирующей полезный сигнал g{t), представим в виде

+ а„-1 + ... + «о(0 = М(0. (4.172)

Здесь «(/)-белый шум, а коэффициенты в левой и правой частях (4.172) в общем случае суть функции времени. Выберем в качестве переменных состояния задающее воздействие g{t) и его первые п-1 производных.

также и неизвестным дисперсиям. Этот фильтр, по сути дела, оказывается расширенным фильтром Калмана.

В статье [18] дается обзор методов решения задач построения дискретных фильтров Калмана-Бьюси при неизвестных корреляционных матрицах шумов. Для целей анализа эта проблема включает в себя проверку обоснованности модели, используемой в задаче фильтрации Калмана - Бьюси, путем исследования остаточных ошибок фильтрации и оценку ухудшения характеристик системы (анализ ошибок) при неточном моделировании системы.

Для целей синтеза рассматривается проектирование оптимального фильтра, ограничивающего в допустимых пределах ошибки оценки, вызванные отсутствием информации о модели системы, и оценивающего одновременно корреляционные матрицы неизвестных шумов и состояние системы.

Оценке влияния неточного знания априорной информации и возможностям адаптации посвящены работы [81, 86].