Схема прогнозирующего устройства может быть изображена так, как показано на рис. 4.8. В результате прохождения смеси г (t) через фильтр с весовой функцией h„ (t), которой соответствует передаточная функция (/со), вырабатывается совокупность переменных состояния x(f). Далее прохождение этой совокупности через фильтр, образованный фундаментальной матрицей, дает прогнозируемую совокупность переменных состояния x{t-\-4)- После умножения последней на матрицу коэффициентов С = су вырабатываются прогнозируемые значения выходных величин ( + То). Может прогнозироваться одна величина. Тогда матрица коэффициентов С будет иметь размер 1 х п.

x(t)

Рис. 4.8. Оптпмальн-ый фильтр с прогнозированием.

В частном случае, когда помехи отсутствуют, оптимальная передаточная функция

Я„ (/со) = 1 = = 1 • (4.71)

Здесь принято, что (/со) = % (/ео).(/о). Весовая функция оптимального фильтра для этого случая hyi{f) = b{f).

Фундаментальной матрице соответствует характеристическое уравнение (4.70), куда входят нули и полюсы функции ¥ (р). Поэтому оно может быть записано здесь в виде

%(Р)2(Р)=0. (4.72)

В качестве переменных состояния удобно принять входной сигнал x{t) и его производные, число которых определяется порядком характеристического уравнения

(4-72)-

Если прогнозирование производится на фиксированное время То, то фундаментальная матрица (4.69) представляет собой совокупность постоянных коэффициентов. Если необходимо произвести в быстром темпе просмотр будущих значений прогнозируемой величины, то фундамен-

Ошибка оказывается минимальной при to = 0. При Xq-oo относительная ошибка будет стремиться к единице. При отсутствии помех

tf min = I - ~б)- S (4.75)

где я7 (т) - обратное изображение Фурье передаточной функции W(ja) = [Sg{a)]+.

Пример 4.3. Рассмотрим задачу прогнозирования углового движения объекта на морском волнении. Корреляционная функция для угла наклона а определяется выражением

/С (т) = De-t-i (cos pt + --sm Р I т l),

где D -дисперсия угла наклона, Р - преобладающая частота, а х Р - коэффициент нерегулярности. Этой

тальная матрица реализуется в виде фильтра, протекание процессов в котором после выставки начальных условий л;(0) = хг(0)„х1 должно определяться фундаментальной матрицей Ф(тто), где т>1-масштаб времени. Этот фильтр должен соответствовать дис]зференциальному уравнению i[-]2\~] = с возможностью введения началь-ных условий.

Ошибка прогнозирования может быть получена из (4.58). Так как имеет место равенство /Cs (т) = fti (т), то для случая прогнозирования формула (4.58) может быть записана в виде

ёшт = Kg (0) - ] (т - то)] dT = о

-Kg(0)-][hiA)Ydx. (4.73)

Формулу (4.73) можно привести к относительному виду

5(03):

[l+a/03-bfc(/w)s р

где c = 2p(p + PV, Ь = {11 + Р)-\

Пусть требуется по результатам измерения угла и скорости наклона объекта в момент времени t дать оптимальную оценку угла наклона в момент времени (t + Xo). Помехи в определении текущих значений угла и скорости в текущий момент времени t отсутствуют. В соответствии с формулами (4.65) и (4.38) сомножитель оптимальной передаточной функции

Ему соответствует обратное преобразование Фурье (0 = e±E,-..sin3M(0.

Составим теперь дифференциальное уравнение, решение которого определит фундаментальную матрицу Ф(то):

¥-1 (р) а = Ьра+ара + а = 0. Выберем в качестве переменных состояния (угол наклона объекта a = Xi и его первую производную a = Xz. Тогда для переменных состояния можно записать

dt = +

--TiTz-

Характеристическое уравнение этой системы Ьр + + ар4-1=0 совпадает с уравнением W~{p) = 0. Запишем общее решение системы дифференциальных уравнений для первой переменной состояния:

а = xi = е- (Ci cos + sin pt),

где Vi и Cz - произвольные постоянные. Для второй переменной состояния имеем

а =: 2 = xi = [фС - pQ cos - (рС + pCi) sin pt].

корреляционной функции соответствует спектральная плотность