мешаться в область более высоких частот, двигаясь по прямой, имеющей отрицательный наклон 40 дБ/дек (двойной наклон). Квадрат частоты точки пересечения этой прямой с осью абсцисс равен предельному коэффициенту усиления разомкнутой системы (добротности по ускорению)

/2 = . (5.14)

Ниже этого предельного значения не может быть выбран общий коэффициент усиления разомкнутой системы с аста-тизмом второго порядка. Область, расположенная ниже двух пересекающихся прямых с отрицательными наклонами 20 дБ/дек и 40 дБ/дек, представляет собой запретную область для л. а. х. проектируемой системы. При работе с ограниченными значениями первой и второй производных от входного воздействия, не превышающими gmax И тах, максимальная ошибка системы не будет превышать заданного значения еах- При этом должно выполняться условие того, что вся запретная область расположена левее частоты g) = T~i.

Если считать, что соотношения между максимальными и среднеквадратичными значениями одинаковы или примерно одинаковы для процессов g{t), y{t) и e(t), то координаты контрольной точки в непрерывном случае (рис. 5.3, а) могут быть найдены для центрированных случайных процессов из выражений

. = (5.15)

(»a) = 201gpA .. (5.16)

Здесь Dl-дисперсия первой производной входного сигнала (скорости). Da -дисперсия второй производной входного сигнала (ускорения), Dg - допустимая дисперсия ошибки воспроизведения полезного входного сигнала. Заметим, что соотношения между максимальными и среднеквадратичными значениями оказываются строго одинаковыми для нормального закона распределения.

Как и ранее, для дисперсии второй производной входного сигнала, меньшей чем заданное значение Da, контрольная тонка (рис. 5.3, а) будет смещаться влево пф

прямой С отрицательным наклоном 20 дБ/дек. Если □г-О, то предельное значение коэффициента усиления системы с астатизмом первого порядка (среднеквадратичной добротности по скорости), аналогично формуле (5.13), будет

КгУЦ. (5.17)

При уменьшении дисперсии первой производной входного сигнала, как и ранее, контрольная точка будет двигаться вправо по прямой с отрицательным наклоном 40 дБ/дек.

При стремлении дисперсии первой производной к нулю, аналогично формуле (5.14), будем иметь предельное значение коэффициента усиления системы с астатизмом второго порядка (среднеквадратичную добротность по ускорению)

К.УЩ. (5.18)

Прямые линии с отрицательными наклонами 20 дБ/дек и 40 дБ/дек (рис. 5.3, а) формируют запретную область для л. а. X. разомкнутой системы. Если л. а. х. будет проходить выше запретной области, то в замкнутой системе дисперсия ошибки будет не больше заданного значения De- Аналогичным образом может быть определена запретная область для дискретного случая (рис. 5.3, б) при условии, что вея эта область расположена левее частоты со =

Для того чтобы в реальной системе управления действительная точность воспроизведения задающего воздействия соответствовала бы принятой для построения запретной области, важным условием оказывается наличие в замкнутой системе достаточного запаса устойчивости. Вопрос обеспечения необходимого запаса устойчивости будет рассмотрен ниже. Здесь можно лишь заметить, что выполнение обычных критериев запаса устойчивости автоматического управления [8] оказывается достаточным для того, чтобы построенная запретная область для л. а. х. (рис. 5.3) гарантировала получение желаемой точности.

Заметим попутно, что, как следует из вида запретной области на рис. 5.3, задание ограничений только на первую и вторую произюдные входного сигнала при отсут-

ствии ограничений на сам сигнал g(t) приводит к необходимости использовать только астатические системы автоматического управления.

Типовые передаточные функции астатических систем. Для многих практически важных случаев рассмотренная методика обеспечения требуемой точности воспроизведения задающего воздействия может быть в известной мере обоснована. Это, в частности, относится к системам с типовыми передаточными функциями, которые будут рассмотрены более подробно в § 5.3 и § 5.4. Для упрощения изложения рассмотрение начнем с непрерывных систем.

Пусть спектральная плотность скорости изменения задающего воздействия Si (со) имеет вид, изображенный на рис. 3.9, в. Дисперсия скорости

□1=2 j5i(co)dco=i/Vdco=fcM. (5.19) Дисперсия второй производной

- 5co5i(co)dco=l/V(uM(u = fcM. (5.20)

-со Р,

в соответствии с этими значениями можно построить запретную область вида, изображенного на рис. 5.3, а. Для этой запретной области частота контрольной точки из (5.15)

= /g = /S±lEl. (5.21)

Заметим, что для периодического режима Pi->P и Р2->Р. Тогда С0э = р. Предельный коэффициент усиления системы с астатизмом первого порядка определяется формулой (5.17), а системы с астатизмом второго порядка - формулой (5.18). В эти формулы входит допустимая дисперсия ошибки De, которая должна быть задана.

Выберем систему с астатизмом первого порядка простейшего вида так, чтобы передаточная функция разомкнутой системы была бы W (р) = Ki/p, где /Ci определяется формулой (5.17). Подсчитаем действительную дисперсию ошибки в рассматриваемой системе и проверим условие того, чтобы она была не больше заданного значения.