§ 4.2. Критерии качества и методы синтеза

При известных статистических характеристиках входных сигналов естественна постановка вопроса об оптимальном синтезе системы управления. Такая постановка может быть сделана и при неизвестных характеристиках, однако при этом неизбежно существенное усложнение всей системы за счет необходимости использования дополнительных устройств экспресс-анализа входной информации, идентификации, адаптации и т. п.

При оптимальном синтезе цифровых систем управления могут использоваться различные критерии качества, которые и определяют понятие оптимальности системы. Одним из наиболее очевидных критериев может служить величина дисперсии ошибки, либо среднеквадратичное значение ошибки системы, которая должна воспроизводить задающее воздействие g (/), представляющее собой регулярную или случайную функцию времени, при наличии помех на входе или в канале управления.

Согласно этому критерию нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величины. Такая постановка часто является логичной, однако она не может претендовать на универсальность. В некоторых случаях, например при стрельбе по какой-либо цели, все ошибки, большие определенного значения, одинаково нежелательны. Однако средний квадрат (дисперсия) ошибки системы управления

lim 4r [ e:it)dt (4.4)

практически во всех случаях сравнительно просто вычисляется, что и определило использование этого критерия. Из (4.4) следует, что при таком подходе никаких ограничений на время переходного процесса не накладывается. Это значит, что решение задачи ищется в классе систем с «бесконечной памятью». Возможна и другая постановка задачи, когда время переходного процесса ограничивается некоторой величиной /„ер. что соответствует случаю синтеза системы с «конечной памятью» [7, 26, 120].

Применительно к дискретным системам формула (4.4) должна быть трансформирована. Если рассматривать решетчатую функцию времени, представляющую собой ошибку

и \ "" n=-N J

Однако в подавляющем большинстве случаев расчеты по формулам (4.5) и (4.6) практически совпадают, что позволяет ограничиться формулой (4.5). Для выполнения этого достаточно, чтобы период дискретности был малым по сравнению с временем переходного процесса непрерывной части.

Задачу построения оптимальной системы по критериям (4.5) и (4.6) можно сформулировать различным образом. Наиболее просто это можно сделать так. Если имеется какая-то система автоматического управления заданной структуры, то необходимо так выбрать все параметры, которые могут варьироваться, чтобы получить минимум дисперсии ошибки при заданных статистических характеристиках полезного сигнала (задающего воздействия) и помехи.

При этом предполагается, конечно, что статистические характеристики входных сигналов известны достаточно точно и эти характеристики достоверны. Если это не выдерживается, то оптимизация теряет свой смысл.

Сформулированная задача решается следующим образом. При известной структуре системы управления по спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования (см. § 3.6) находится дисперсия ошибки. Дисперсия получается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигнала и помехи и от параметров системы. Затем

системы, то формула (4.4) должна быть записана следующим образом:

где п - дискретное время.

Для систем управления, содержащих непрерывный объект управления, более строга формула, дающая усреднение не только по значениям дискрет в моменты времени t = пТ, но и предусматривающая усреднение между отдельными дискретами. Для этого должна рассматриваться смещенная решетчатая функция е [п, в] с последующим интегрированием по всем смещениям О & <zl:

ищутся условия, которые должны быть наложены на параметры системы, чтобы получить минимум дисперсии. При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть сделано непосредственным ее дифференцированием и приравниванием нулю частных производных.

В более сложных случаях могут применяться расчеты на ЭВМ. Задачи поиска минимума некоторого функционала в настоящее время сравнительно хорошо проработаны, и уже имеется большое количество типовых программ поиска.

Использование фильтров Винера. Другая постановка задачи при расчете по критерию минимума дисперсии ошибки заключается в том, что ставится вопрос о нахождении оптимальной структуры и значений параметров системы автоматического управления, при которых обеспечивается получение теоретического минимума среднеквадратичной ошибки при заданных вероятностных характеристиках полезного сигнала (задающего воздействия) g (t) и помехи V (t). Эта задача будет решена, если найти, например, частотную передаточную функцию замкнутой системы Я (/со) для непрерывной системы или Я* (/X) Для дискретной системы (рис. 4.1). Передаточной функции Я (;со) может быть поставлена в соответствие передаточная функция Я (р), а передаточной функции Я* (jX) - функция Я (г). Задача относится к категории вариационных задач в открытой области, т. е. без ограничений на фазовые координаты системы и управляющие воздействия.

Для решения этой задачи требуется знание статистических характеристик полезного входного сигнала (задающего воздействия) и помехи на входе системы (или помехи, пересчитанной на вход системы). При этом предполагается, что на систему управления заранее не налагается никаких ограничений в смысле обязательного использования реальных элементов (чувствительных элементов, усилителей, исполнительных элементов и др.) с заданными характеристиками.

Запишем критерий оптимальности в задаче Н. Винера. При поступлении на вход системы аддитивной смеси полезного сигнала и помехи (рис. 4.1)

rit) = u{t) + vif). (4.7)

представляющих собой стационарные случайные функции с нулевыми математическими ожиданиями и известными