154 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ в ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. S

Появление в корреляционной функции члена вида 0,5Л£ cos coimT" указывает на наличие в случайном про цессе скрытой периодичности, которая может не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи реализации случайного процесса.

3. Периодическая кривая, разлагаемая в ряд Фурье

х[п] = Ао+ Ausin {щпТ+,

имеет на основании изложенного выше корреляционную функцию вида

" Al

R[m] = Al+2 cos (атТ).

Взаимная корреляционная функция для стационарных процессов определяется одной из следующих формул:

Rxy И = М {х [п] г/ [п + т]} =

= lira 2ЛПГГ 2 {ЫпЛ-т], (3.30) К.У [m] = М {(X[п]-X) (у [п + т] - )} =

. = lim 2 (хМ-х)(у[п + ш]-5). (3.31)

Из определения взаимной корреляционной функции следует:

Rxy {т\ = X [п] у [п + т] = х[п~т]у [п] =

= y[n]x[n-m] = RyA-tnl (3.32)

Аналогичным образом можно показать, что имеет место равенство Кху[т] = Кух[-т]- Кроме того, можно показать, что

\Rxy[m]\VRAG]yRM, \ (3 33.

\K.y[m]\VKAO]VKy[0]. J

Взаимная корреляционная функция характеризует взаимную связь двух случайных процессов между собой

В разные моменты времени, отстоящие друг от друга на промежуток времени х = тТ. Значение ij[0] характеризует эту связь в один и тот же момент времени. Примером таких двух взаимосвязанных случайных процессов могут служить две координаты пространственного положения подвижной цели.

Для не связанных друг с другом случайных процессов для всех т справедливо равенство Rxy[m] = 0. В связи с этим говорят, что процессы коррелированы или некор-релированы. Зто означает наличие или отсутствие между ними статистической связи.

Аналогично предыдущему можно также ввести понятие нормированной взаимной корреляционной функции.

§ 3.3. Спектральная плотность стационарных процессов

Для непрерывных процессов вводится понятие спектральной плотности, которая связана с корреляционной функцией взаимным преобразованием Фурье [70, 139]. Запишем формулы связи применительно к корреляционной функции R (т):

S (аз) = 1 R (т) е-" йт, (3.34)

R{x) = ~ J S((o)e>«>M<o. (3.35)

Спектральная плотность может быть записана и как преобразование Фурье корреляционной функции К (т). Так как спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой четные вещественные функции, то иногда формулы (3.34) и (3.35) представляют в более простом виде:

S (аз) = 2 5 (т) cos ют dx, (3.36)

/? (т) = J 5 (©) cos т, dx. (3.37)

Это вытекает из того, что имеют место равенства gjwx (,Qg (От -[- у sin сот,

и мнимые части могут быть отброшены после подстановки в (3.34) и (3.35), так как слева стоят вещественные функции.

Таблица 3.1

Оригинал

Изображение

6 7 8

Sin Q I т I cos fix sin (Q i T i + Tf)

-""sinfilTl

«-"ЧЧсозЙ T

2лб (£0)

2 2a

2Псо8-ф

f л1б(сй-Й) + ?(ш + Ц)] sin-ф

Q-1-ш

a2 + (Q-£0)2 a2 + (Q + £0)2

g g

gs + (fi - £o)s gs+(Q + £0)2

Спектральная плотность вычисляется обычно по известной корреляционной функции по формулам (3.34) и (3.36), соответствующим двустороннему преобразованию Фурье четной функции R{x) или К(х). В таблице 3.1 приведены некоторые примеры четных функций от т и их изображе-