Подставляя (3.151) и (3.152) в формулу для корреляционной функции (3.150), получаем после двойного интегрирования в бесконечных пределах

:+ft+l

(/-fy

Xsh Xsh X exp

L 6f

гр(т)

exp

P(T)

6t У у (-

1 = 1 ft= 1

(i + )]sh [l/p(T)".

(3.153)

Практически всегда выполняется условие bo. Поэтому можно отбросить двойную сумму в (3.153). В результате получим

1 -.-Р1(-)рПт), (3.154)

Pi (т) = ехр 1--gj-i (1 - р (т))J,

Р2 (т) =

(3.155)

. В формулу (3.154) введен дополнительный делитель, равный знаменателю функции Р2(т), с целью некоторой компенсации отброшенной двойной суммы (3.153). Этот делитель введен так, чтобы выполнялись условия нормировки pi (0) рг (0) = 1 и pi (оо) рг (оо) = 0.

Из (3.154), в частности, следует, что дисперсия шумовой ошибки от квантования по уровню

D. = /C.(0) =

Для дискретного процесса, т. е. при учете квантования по времени, корреляцрюнная функция может быть получена из формулы (3.154) ее дискретизацией. Вводя при этом нормировку, имеем

n = l 1-exp

6? - P [m\

(1-рИ)

1 -exp

(3.156)

Из (3.156) можно определить условие того, что ошибка квантования по уровню представляла бы собой дискретный белый шум. Это будет при отсутствии корреляции для гТ, т.е. для т1. Если положить p.i,[l достаточное условие будет иметь вид

= 8, то

2n/l-pJI]

(3.157)

Формула (3.154) чрезвычайно неудобна для дальнейшего исследования. Разложение в ряд показательных функций здесь может привести к неправильным результатам вследствие того, что показатель степени по абсолютной величине обычно значительно превосходит единицу. Это вытекает из наиболее вероятного случая Ообх.

Если последнее неравенство не имеет места, то можно разложить в степенной ряд функцию Ра (т):

Pi (т)

l-1-f

Ф(т).

(3.158)

Тогда упрощается формула для корреляционной функции (3.154):

2 i-P()P[-(l-pH- (3.159)

Подобное выражение может использоваться, например, в случаях, когда на преобразователь непрерывной величины в код поступает сигнал ошибки ЦАС, которая, как правило, мала по своей величине.

Для дискретного случая из (3.159) имеем

к. и -1 2 Р ["3 [- (1 - Р И)]- (3.160)

Для корреляционных функций р(т) или р[т] сравнительно простого вида здесь может быть найдена спектральная плотность ошибки квантования.

Пусть, например, на входе преобразователя действует случайный стационарный сигнал с корреляционной функ-

/C(T) = Doe-»ii = a§e-ll. (3.161)

Тогда из (3.159) для непрерывного случая получаем

со iTTnol г,

= -2 - (3.162)

п = 1

Переход к спектральной плотности может быть сделан по преобразованию Фурье

Si. (tt») = 2 J (т) COS (ОТ dr =