И возьмем 2-преобразование от правой и левой частей

{Ao[n]} = E{f[n]}. На основании (2.61) имеем, учитывая, что а[0] = 0,

{z-l)%{a[n]}=F{z). Отсюда можно найти изображение неполной суммы

{ст[п]}=. (2.66)

Распространяя эту зависимость на случай Л-кратного суммирования, можно записать

KN}=(S. (2.67)

Для полной суммы (2.27) аналогичным образом можно найти первую обратную разность

Voo [п] = Сто [«] - 00 [п - 1] = / [п] и ее изображение из (2.63)

{ao[n]}==%{ao[n]}F{z).

Отсюда изображение полной суммы

KM}=F(2). (2.68)

Для случая Л-кратного суммирования

H[n]}-(jfF{z). (2.69)

Из приведенного рассмотрения вытекает справедливость равенства

Aa[n] = Voo[n] = f[n]. (2.70)

Таким образом, взятие прямой разности и взятие неполной суммы (или обратной разности й полной суммы) решетчатой функции являются обратными операциями. Роль оператора, аналогичного оператору p = c-f/cu в непрерывных системах, в первом случае играет оператор (2-1), а во втором случае -оператор (2-1). В случае перехода к пределу при обе пары операций над

решетчатыми функциями сливаются и превращаются в операции дифференцирования и интегрирования непрерывных функций.

7. Изображения решетчатых функций с измененным периодом следования. Пусть рассматривается решетчатая функция с периодом следования дискрет XT, где %ф\. Тогда на основании (2.42) можно записать

g {/ [ЯпГ]} = ] f [ЫТ] z-- = (z\ IT). (2.71)

n = 0

Из (2.71) следует, что при изменении периода в X раз необходимо в изображении решетчатой функции f[n] заменить 2 на г и Г на КТ.

Так, например, если рассматривается решетчатая функция 6"°-", то при введении периода КТ в соответствии с таблицей 2.1 изображение будет

F(z\ ЯГ) = 2{е-«} =

/ 2 3

6 6n

где Zi = z и di = d. Ha рис. 2.9 построены для этого случая решетчатые функции с исходным периодом следования Т (рис. 2.9, а), растянутым периодом при К>\ (рис. 2.9, б) и сжатым периодом при X < 1 (рис. 2.9, в).

8. Сумма ординат решетчатой функции. Если абсцисса абсолютной сходимости решетчатой функции отрицательна (с<0), то, положив

3 -ч

К<1

S В л

0 12 3 4 5 6/7

Рис. 2.9. Изменение периода решетчатой функции.

в (2.42) р = 0, имеем

F(l) = limF(2)=2] /И.

<г = 0

F(l, e) = yi(e) = limF(2, е) = 2 f{n, е].

п = 0

(2.72)

9. Конечное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность решетчатой функции f[n] и на основании (2.49) найдем ее изображение

1{Д/[п]} = (г-1)(г)-гЯ0].

Далее на основании (2.72) найдем сумму ординат А/[п]:

] AjP[n] = lim(z-l)F(2)-/[0]. Кроме того, можно записать

со со

S A/M=i: (/[n+l]-f[n]) = lini/[n]-f[0].

n=0 n = 0

Из двух последних выражений следует:

lim/[R] = lim (z-l)F(2). (2.73)

«-►оэ г->-1

Если провести аналогичное рассмотрение с первой обратной разностью, то можно получить формулу для вычисления конечного значения решетчатой функции в другом виде:

Пт f[n] = nm=F{z). (2.74)

п-»со Z->1 *

10. Начальное значение решетчатой функции. Составим первую прямую разность

A/[n-l] = /[n]-f[n-l]

и на основании (2.50) найдем ее изображение

%{Af[n-l]} = {l-z-)F{z)-fm.

Рассмотрим теперь предел выражения

Ит 2{АДп-1]}= lim f] А/[п-1]г-" = 0.

г -со z-»co„0

Тогда из последних двух формул можно найти

f[0]==nmf[n]=limF(z). (2.75)

Зависимости (2 74) и (2.75) представляют собой аналоги соответствующих выражений для нахождения конеч-