2. Теорема запаздывания и упреждения. Рассмотрим решетчатую функцию f[n-m], сдвинутую вправо (запаздывающую) на целое число тактов т. Тогда из (2.42) следует, если обозначить п - т = г.

-гг"

г = 0

г-"

(2.50)

Здесь F (z) - изображение функции f[n\. Если исходная решетчатая функция / [п] равна нулю при отрицательных значениях аргумента, то формула (2.50) упрощается:

{/[«-т]} = 2-(2).

(2.51)

Если сдвиг функции f[n] происходит влево (упреждение) и рассматривается функция f[n-\-m], где т -целое положительное число, то, аналогично случаю запаздывание, можно показать, что

M{f[n + m]} = z"

а = 0

(2.52)

Второе слагаемое в правой части (2.52) обращается в нуль, если /[п] = 0 при п = 0, 1, т-1.

При запаздывании на не целое число периодов т4-? приходится вводить смещенную решетчатую функцию. Пусть рассматривается функция /[n-f е -т -g], где m - целая, а g -дробная часть запаздывания. Если смещение е удовлетворяет условию 0г<.1 и f[n-{-e - m--=0 при rt-f 8<:m-j-g, то можно показать, что

2,{/[п + 8 /п-]} = г-(1+")7=(2, (2-53)

Если =sg 8 < I, то

1з{/[п + Е m-a} = 2-"F(2, в-1). (2.54)

При использовании таблицы 2.1 для нахождения изображений следует в этом случае вместо ч подставить

Г1=0

2 Дп](->" = /=(-2-). de-. (2.55)

п = 0

Для смещенной решетчатой функции аналогичная формула имеет вид

g{e"7[n + e]} = d/=(. е). (2.56)

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию. Пусть решетчатой функции /[п] соответствует изображение F {г). Тогда можно показать, что

{(nW[n]} = (-ir-

Для смещенной решетчатой функции аналогичная зависимость имеет вид

{{п + вГТ"Ч[п, е]} =

= 2 (~1Г СЦеТГ-fy

v = 0

5. Изображение разностей. Для первой прямой разности на основании (2.52)

B{Af[n]} = S{f[n+l]-f[n]} = z[F(z)-fm-F(z) =

= (z-l)F{z)-zf[0]. (2.59)

Если А -целое число, то аналогичным образом % {А7 [п]} = (z-l)"F (Z) - г 2 (г - 1)-" А7 [0]. (2.60)

v-=0

причем А7[0] = /[0].

1+8 -S или е -I в соответствии с формулами (2.53) и (2.54).

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений). Умножим решетчатую функцию на экспоненту е". Тогда из (2.42) следует:

% {£"7 [«]} = S "7 [П] 2-" -

к этому же пределу стремится множитель (г-I)* в (2.61). Это также иллюстрирует сходство формул изображений производных и разностей.

6. Изображение сумм. Рассмотрим вначале неполную сумму (2.26):

т = 0

Составим первую прямую разность этой суммы Aa[n] = a[n+l]-a[n] = fln]

Если решетчатая функция f[n] равна нулю в первых точках оси времени, т. е. / [0] = / [1] = .., = / [ft - 1] = О, то формула (2.60) упрощается:

{Л*Яп]} = (2-1)*/=(2). (2.61)

Для первой обратной разности можно аналогичным образом найти

1 {V/[n]} = l{/[n]-f[n-l]} =-F{z) + 2-V[-l]. (2.62)

Если для отрицательных аргументов решетчатая функция тождественно равна нулю, то формула (2.62) упрощается:

{f[n]}=Fiz). (2.63)

Для fe-й обратной разности при /[n] = 0 для п<.0

{V*/[n]}=()V(2). (2.64)

Полученные формулы изображений прямых и обратных разностей формально напоминают формулы для нахождения изображений производных непрерывных функций. Формула (2.64) аналогична случаю изображения производной k-ro порядка непрерывной функции по начальным условиям слева при их нулевых значениях. Заметим, что при Т-0 (непрерывный случай) множитель в правой части стремится к пределу: