-0<.)+ 2 + 2 (4.40)

где F (/со) - некоторый полином. Первая сумма содержит все члены, соответствующие левой половине р-плоскости (включая ось /со), а вторая сумма -все члены, соответствующие полюсам в правой половине р-плоскости. В этом разложении реализуемая часть определяется суммой

В(/«) = (/«) + Д-. (4.41)

Формулы (4.39) - (4.41) позволяют определить оптимальную частотную передаточную функцию замкнутой системы Н (/ю), от которой можно перейти к оптимальной передаточной функции Н (р) подстановкой /со = р.

Системы с белым шумом на входе. Во многих практических случаях помеха на входе представляется в виде белого шума со спектральной плотностью (со) = N при отсутствии корреляции с полезным сигналом, т. е. при S«(«) = S,™(«) = 0.

Тогда спектральная плотность смеси r{t) = u (t) -f о (О

5,(co) = 5„(co)-l-iV. (4.42)

Отсюда

= ¥ (/ш) = [S„ (со) -Ь N]*. (4.43)

Примем, кроме того, что Яо (р) = 1 и g(f) = u{t). Тогда оптимальная передаточная функция

(4.44)

1 ( Sg((£,) + N N \ (л с\

" = lSg(co)+Nr I [Sg (cd) -Ь Nf""lSg(<r+Nr /+• (4-45>

Функция в (/со) определяется следующим образом.

Если Sgriai) есть отношение двух полиномов по степеням /со, то можно записать

Первый член в скобках есть [Sg (со)+ yV]+. Поэтому

1 I TV

Я(/со) = 1 = 1

(4.46)

[Sg(cu) + yvr t[Sg(cu) + /V]-Далее можно показать, что член в фигурных скобках (4.46) равен единице [16]. Поэтому в результате имеем

Я(Уш)=1

(4.47)

Последняя формула может применяться для нахождения оптимальной передаточной функции в рассматриваемом случае.

Передаточная функция разомкнутой системы. Так как

в системах управления при Но (р) = 1, как правило, используется единичная главная обратная связь, то структурная схема, изображенная на рис. 4.1, можег быть

приведена к виду, пока-

uCt)

занному на рис. 4.6. Передаточная функция разомкнутой системы

Я(р)

1- (Р)

(4.48)

Рпс. 4.6. Оптимальный фильтр с единичной главной обратной связью.

Для случая, когда помеха представляет собой белый шум, из (4.47) имеем

l}7(/«)=-{[Sg(«) + yV]--VTV

(4.50)

Из последней формулы видно, что W (/ш) имеет полюсы, совпадающие с полюсами (/со), и, следовательно, является устойчивым реализуемым фильтром. Эти полюсы суть полюсы спектра полезного сигнала, расположенные в левой полуплоскости (в том числе полюсы, лежащие на оси /ш). Таким образом, если спектр полезного сообщения может быть представлен в виде

5g((o) = c

ао -Ь Qi/w -f аа (/(0)2 -Ь... + а„ Ош)«

. (4.51)

ТО схема оптимальной системы с единичной обратной связью будет иметь вид, изображенный на рис. 4.7. Эта схема носит название канонической. Передаточная функция разомкнутой системы при этом

= Со-f Ci/(u-f Са (jdif + + Cni ,4 52)

Нетрудно показать, что степень числителя (4.52) всегда на единицу меньше степени знаменателя вне зависимости от присутствия соответствующ,ей степени /со Б числителе (4.51).

ао+ар*-~-а„р

y(t)

Рис. 4.7. Каноническая схема оптимального фильтра.

Задача нахождения оптимальной передаточной функции в этом случае сводится к нахождению числителя (4.52), что, однако, не уменьшает требуемого объема вычислений.

Пример 4.1. Рассмотрим нахождение оптимальной передаточной функции в системе с единичной главной обратной связью при Hq (р) = 1 для случая, когда полезный сигнал представляет собой типовой входной процесс следящей системы со спектральной плотностью

2D Т

Sa («) = Sg (Ш) = £,2(1 + 2.) .

где Dl -дисперсия входной скорости, а помеха -белый шум со спектральной плотностью S,, (со) = N. Взаимная корреляция между сигналами отсутствует. Для этого случая имеем

Ьг (со) = Sg (со) + S„ (со) =--a2(i+aiT)--

9П г С +/tuTi) (I +/ЮТ;) (1 -/tOTi) (1 -/ЮТ2) " 1 ycD (i +/co7i) (- /со) (1 -j4>T{i