со со

Кг [т] - 2 Щ 2 ЩKi[m-i + k], (3.90)

£=0 fe=0

D2 = /C.[0]= 2 ш„И i: to„/Ci[/fe-t]. (3.91)

£==0 ft-0

Если входной сигнал представляет собой дискретный белый шум с корреляционной функцией Ki [т] = Di6o [m], то формула (3.87) может быть представлена в следующем виде:

D, [п] = Di 2 [i] 2 ш„ [к] бо [к - i] = Di 2 [k].

i~0 ft=0 fc=0

(3.92)

Установившееся значение дисперсии выходного сигнала в этом случае

D2 = D2[oo] = Di] (3.93)

fe=0

в соответствии с формулами (2.112) и (2.113) сумма квадратов весовой функции, входящая в (3.93), может быть найдена интегрированием квадрата модуля

Если на входе действует стационарный процесс, то Ki[n, ni\==Ki[m], где m-=n - ni. Тогда

К,[п, пг] = i] ш„Щ 2 ш„ЩКг[m-i + k], (3.88) D, [n] = 2 tt„ [/] 2 [k] Kx [k - q. (3.89)

t = 0 ft-0

Если рассматриваемая система устойчива, то /Сг [«, «i] и D2[n] стремятся к некоторым пределам, которые определяют стационарный процесс на выходе. Они могут быть найдены, если положить п-»-оо и rti-oo при n - ni = m. Тогда

передаточной функции W (е") или W* (/Я):

2 n[/fe]=

л/г -л/г

ГАЯ,.

Здесь введена эквивалентная полоса пропускания рассматриваемой линейной системы А(1)в = АЯэ. Безразмерная полоса пропускания ГА£09 = ГАЯв. В результате установившееся значение дисперсии выходной величины может быть выражено через эквивалентную полосу пропускания в виде

Da = Dir Аюв = Dir ЛЯ,. (3.96)

Пример 3.1. Рассмотрим разомкнутый канал с ЦВМ, содержащий непрерывное апериодическое звено первого порядка с передаточной функцией W (р) = (I + Tip)-\ При D(z) = l дискретная передаточная функция в соответствии с (2.136) будет

гдей = ехр(-Г/Г1). Передаточная функция по псевдочастоте

W* (/Я) = W

Si l+ZT-B

где эквивалентная постоянная времени Гв = 0,5Г (1+d)x Х(1-d)"- Приведенная весовая функция канала (реакция системы на единственную единичную дискрету на входе) будет здесь

«n[n] = {(l-~)-n«]-(l-e")-l[n-l]} =

=/С-Ь! Г • 1[п -1 ] =/С-Ь! 1[п -1 ].

где /С =/нббГ- общий коэффициент передачи канала. В соответствии с формулой (3.90) дисперсия выходной

(3.94) (3.95)

величины при действии на входе шума квантования (3.54) будет

Установившееся значение дисперсии при n-voo D. = lun D. [n] = j2/« -.

Установившееся значение дисперсии можно найти также по эквивалентной полосе пропускания (3.93):

TdK,

W*(l%)\dk

- со

откуда на основании (3.96) можно получить

Рассмотрим теперь вопрос нахождения спектральной плотности S {е) или S* (Я,) и установившейся дисперсии D2 выходной величины линейной системы по спектральной плотности входной величины. В качестве исходной возьмем формулу (3.90):

оо со

Спектральная плотность выходной величины

5а (г) = Е ATiNe-"-

m--00

= ] nW S te-Jfe] J Ki[m-i + k]-. (3.97)

i=-CO /г =-CO me - со

Нижние пределы суммирования по i и & в (3.97) могут быть взяты равными -оо, так как при п<0 весовая