О О 9 О

q р р 9

» О О

<) о о

Рис. 2.11. Периодические функции.

отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в импульсных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах. Получение этой функции будет подробно рассмотрено ниже.

Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде

Y()- bo+bxz-+... + blZ- р а + аг-Ч-.-.+аг-"»

= -F{z)W{z)F(z). (2.100)

Здесь введена дискретная передаточная функция W (z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть

- aj,, N<0.

Комплексные амплитуды могут находиться из формул: при М = 2/v + 1

при M = 2N

2N-1 п = 0

16. Периодические решетчатые функции и их изображения. Введем в рассмотрение периодическую решетчатую функцию

fln + kM]=:fln], (2.101)

где k и М - целые числа, причем М представляет собой относительный период (рис. 2.11, а). Первая гармоника имеет относительную угловую частоту u>i = (DiT = 2пМ. Функция (2.101) может быть точно представлена в виде суммы конечного числа гармоник с частотами, кратными Si:

/ („] = -f 2] (fifc COS кап + bk sin кщп). (2.102)

Число гармоник равно целой части 0,5М. Ряд (2.102) может быть представлен в комплексной форме:

П«]=- 2 (2.103)

fc = -w

где .

[ Ok-fbk, k>0, Cfc = Cfte*= Оо. k = 0, (2.104)

ak + jbk, k<:0.

Для M = 2N при k = N

Un, N>0.

Если Л/ нечетно, то при r = N

n = 0

Так как здесь присутствуют только нечетные гармоники, то тригонометрический ряд может быть записан в вещественной форме:

= ! 2 c""=2c,cos{km,n + ,), (2.106)

где Ni = N - I для четных /v и NiN для нечетных yV.

Для нахождения изображения периодической решетчатой функции (2.101) применим теорему сдвига (2.52):

Р(г)- Z fir] г

Для r = /v при M = 2N + l

и при M = 2N

2ЛГ-1

Для симметричной периодической функции (рис. 2.11, б), т. е. при выполнении условий М = 2N и f[n] = - fln + N], формула для комплексной амплитуды принимает вид

ЛГ-1

- = 4- 2 /Ne-ZMl-C-m. (2.105)

Из последнего выражения следует, что Сг = 0 при четном г, т. е. четные гармоники отсутствуют. При г нечетном

fj = 0