функция [п] s 0. Произведя подстановку m - i+k = mi, имеек из (3.97)

со * = -со т,=-оо

= W(z) W{z-)Si(z). (3.98)

Переход к спектральным плотностям Si (е") и (е") по формуле (3.41) дает

Ss (е/»г) I jj giT) 2 5 (g/«,r), (3.99)

Последнее выражение можно также записать для псевдочастот:

St (Я) = I W* (/Я) l* St (Я). (3.100)

Интегрирование (3.100) в бесконечных пределах дает установившееся значение дисперсии выходной величины:

2я J

- оо

(3.101)

Отметим, что закон распределения для случайной величины может, вообще говоря, меняться при прохождении ее через линейную систему. Однако в случае, если на входе линейной системы имеется нормальное распределение случайной величины Хи то на выходе для случайной величины 2 также будет иметь место нормальное распределение.

При вычислении интеграла (3.101) обычно приходится иметь дело с подынтегральным выражением вида

\вт Р

И(А)Р •

где А (/Я) и В (/Я) представляют собой некоторые полиномы от комплексной переменной /Я. Наивысшую степень знаменателя обозначим 2п. Наивысшая степень числителя в реальной системе может быть не выше 2п -2. Для удобства интегрирования написанное выше выражение обычно представляют в виде

\B(fk)\

где 1

А т=im"+Gi (/я)"- +... + G„,

G (jK) = &o + &i (/Я)«-« + ... +

Полином G{jK) содержит только четные степени /Я,. Полином А (УЯ) для устойчивой системы может иметь корни только в верхней полуплоскости. Область устойчивости оказалась в верхней полуплоскости вследствие того, что была использована подстановка w = jKf/2,a множитель / обозначает поворот комплексного числа на угол л/2. Таким образом, вычисление дисперсии (3.101) можно свести к нахождению интеграла

со оо

/ L { GrndX 1 Р G(A)a .о 109

« 2я ) A(,-k)A{-fk) - 2я ) IА иХ) Р • -"

- со - 00

в общем случае при лкзбом п для устойчивой системы интеграл /„ может быть представлен в виде

1 М„

2ао А„

% «3 Oj ... о Оо Са 04 ... О

О О О ... а„

(3.103)

(3.104)

совпадает с точностью до знака со старшим определителем Гурвица, а числитель равен

бо bi bi... bni Со Ga Й4 ... О О Й1 аз ... О

(3.105)

Интегралы такого вида вычислены до п = 7 и сведены в таблицы (см. Приложение).

Заметим, что знаменатель правых частей приведенных в Приложении формул представляет собой A„ i -определитель Гурвица. На границе колебательной устойчивости этот определитель обращается в нуль, а дисперсия выходной величины будет стремиться к бесконечности.

Все рассмотренные формулы," используемые для нахождения корреляционных функций, спектральных njjoTHocre

J 3.6] РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ ОШИБОК 177

и дисперсий выходной величины линейной системы, предполагают рассмотрение этой величины только в дискретные моменты времени / = пТ. Если необходимо рассматривать непрерывную выходную величину и в промежутках между этими моментами времени, то следует воспользоваться приведенной весовой функцией wn, е] и передаточной функцией линейной системы (2.124):

W(z, е)= 2 хюп, е]г-«,

И внести соответствующие изменения во все рассмотренные выше зависимости. Так, например, формула (3.90) должна быть записана для выходного решетчатого сигнала в виде

со оо

КЛт, е]= 2 n[t. е] п[*, e]/Ci[m-t-f Л]. (3.106)

Установившееся значение дисперсии решетчатой выходной величины в соответствии, например, с формулой (3.101) будет

"""-. (3.107)

Усреднение последнего выражения на интервале 0 е <; 1 дает дисперсию непрерывной выходной величины дискретной линейной системы 1

D2 = 5D2(e)rfe- (3.108)

Однако в большинстве случаев в расчетах можно ограничиваться рассмотрением дисперсии Da непрерывной величины, определяемой для дискретных моментов времени пТ.

§ 3.6. Расчет установившихся ошибок в линеаризованных ЦАС

Замкнутая ЦАС может находиться под воздействием случайного задающего сигнала g{t) и случайного возмущающего воздействия f{t), приложенного в произвольной точке системы (рис. 3.10). Будем считать, что оба сигнала соответствуют случайным стационарным процессам,