Так, например, если

fin] =т[Гг"] = пГ,

что совпадает с таблицей 2.1.

В случае, когда степень числителя F{z) равна степени знаменателя, следует, аналогично изложенному выше, выделить член нулевого порядка f [0] делением числителя на знаменатель и рассматривать далее остаток от деления.

14. Разложение в ряд Лорана. Из основного выражения для нахождения г-преобразования (2.42) следует:

F(z)= f] n«]" = /[0] + /[l]z-i-f ...+П]г-* + ...

Разложив любым способом изображение F (г) в ряд Лорана (ряд по убывающим степеням г):

F(2)=Co + Cir-l + ... + CA2-* + ...,

и сравнивая два ряда между собой, можно установить, что Со = ПО], Ci = /-[11, С2 = П21, Ck=-flk] и т. д.

Разложение в ряд можно делать любым способом, так как такое разложение единственно. Наиболее удобным

причем степень числителя меньше степени знаменателя. Тогда в соответствии с (2.83) и (2.90) оригинал будет

(2.93)

Эта формула справедлива для п1. При п = 0 значение оригинала f[n] = 0.

Для случая двойного корня (г = 2) формула (2.93) приобретает вид

{y[n + m]} = z"

Y{z)- Z ylklz-".

Аналогичные зависимости могут быть записаны для упреждения на (т-1), (т -2), 1 тактов. Поэтому при переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям можно получить

(aoz" + aiz"- + ... + am)Y (z) =

F{z) + iaz- -f ai2-1 -f... -f G„ i) y +

+ ((ЦZ"--f Gi2"-* +...-f G„ a) «/i -f...-f GoZ«/m-l =

=F{z)-YYo(z). (2.95)

В правой части (2.95), кроме изображения F (г) решетчатой функции f [«], находятся члены, определяемые начальными условиями. Сумма их обозначения Yq (г).

Из (2.95) можно найти изображение Y {z) искомой решетчатой функции

где А (г) = aoZ"-\- aiz" - -f... -f Далее можно использовать изложенные выше приемы перехода к искомому оригиналу у[п].

Для решения рассматриваемого разностного уравнения необходимо, как следует из изложенного, знать начальные условия y[v] = yy (v = 0, 1, m-1). Последние же зависят от вида действующей в правой части разностного уравнения решетчатой функции.

Приемом для дробно-рациональных функций является деление числителя на знаменатель.

Применяя разложение в ряд Лорана, можно вычислить значения оригинала f[n] или f[n, е] в дискретных точках без нахождения полюсов изображения F{z).

15. Решение разностных уравнений. Пусть имеется разностное уравнение в форме (2.29)

aoy[n + m] + aiyln + m-l]+... + a,ny[n]=f[n],

с начальными условиями «/[v] = «/v (v = 0, 1, .... m-1), Найдем г-преобразование от его левой и правой частей, В соответствии с формулой (2.52) для случая упреждения на т тактов

g{t/(n-m]} = 2-

У{г)+Е y[-r]z

/•=-1

Подобные зависимости могут быть записаны для запаздывания на (т-1), (т -2), 1 тактов.

При переходе в рассматриваемом разностном уравнении к изображениям могут быть получены выражения, аналогичные (2.95) и (2.96). Переход к искомой решетчатой функции у1п] осуществляется в соответствии с изложенными выше приемами.

Особый интерес представляет случай, когда до момента времени « = 0 искомая решетчатая функция тождественно равна нулю. Это эквивалентно случаю нулевых начальных условий слева (при t= -0) при решении дифференциальных уравнений для непрерывных функций. Тогда в выражении для изображения (2.96) пропадает член в правой части, определяемый начальными условиями, и оно приобретает вид

()=-xi- (2-97)

Рассмотрим разностное уравнение вида (2.33), ио записанное в более общем виде:

ад[«]-f l]-f ...-f g„«/[«-m] =

= V[«l + V[n-l]+... + b [n-/]. (2.98)

Если ввести предположение, что решетчатая функция у1п] тождественно равна нулю при п<0 и, кроме того, функция fin] в правой части (2.98) прикладывается в момент времени п = 0, то переход к изображениям дает

{ао + giz-i +...-f йг-"») Y (z) =

(bt+bi2r + ...+biZ-)F(z). (2.99)

Более удобны для решения разностные уравнения вида (2.33)

aoy[n]+aiyln-l]+... + ayln-m]=fln]

с начальными условиями у[-v] = t/v (v=l, 2, .... т).

Изображение решетчатой функции у1п - т], запаздывающей на т тактов, в соответствии с (2.50) будет