Главная страница  Структура цифровых систем 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

ного И начального значений непрерывной функции /(/) по ее изображению Лапласа:

Нт/(0 = Итрл{р),

<-.оо р->-0

limf (0= Птрл (р).

11. Свертка решетчатых функций. Если

то можно показать, что

fi iz) FAz) = {t h М /2 [« - v] = ж ( h [n - V] f, [n]\.

lv=0 J lv = 0 }

(2.76)

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.

12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное z-преобразование:

/ [п] = {F (г)}, Пп, е] = I- {F (г, е)}. (2.77)

Заметим, что аргумент изображения обладает свойством 2 = еР = ер+/2*, (2.78)

где Л - произвольное целое число. Вследствие этого изображения F (z) и F (z, е) представляют собой периодические функции относительно мнимой части аргумента р = =7+/сй с периодом 27"-, что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения О = со <; < 2лТ-\

Удобнее использовать интервал -лТ- <.ылТ-, так как он оказывается аналогичным интервалу частот - oo<;tu<;oo, рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости p = Y + /to область (рис. 2.10), в которой достаточно рассматривать изображение F (г) =

= F(ePO-

Изображение F (z) может иметь в этой области особые точки типа полюсов -р/ (где i=l, 2, к). Полюсы



могут быть или вещественными, или комплексно-сопряженными. В случае pi 2 = 7i ± ]лТ- достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, напри-

мер, положительной мнимой части (на верхней границе области).

Рассмотрим выражение (2.42)

0 + jf

f- с -»

Рис. 2.10. Область интегриро- Умножим левую и правую вания. его части на ер, где т -

целое число, и проинтегрируем его вдоль линии L (рис. 2.10) в пределах от pi = = c-jnT- до р2 = с+ jnT, где с-произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости:

рг Р:

5 F{eP)e"Pdp= \

Р2 г

2 f[n]e-"

р, Ln=o

= 2 / W 5 егР--Ыр. (2.79)

п = 0 р,

П-ри этом все полюсы F (ер) будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования L. Это и дает право изменить в (2.79) порядок операций интегрирования и суммирования. Если пфт, то

V е-р7-(«-т)р £ pi

,-pTl.n-m)

-т)Т

-сТ(п-т)

: 1---- ГеМ (п- е- /я (п- m)i = 0.

(п-т) У

Еели п = т, то

\ dp - (с + /л Г -1) - (с - /лГ-1) = /2лТ-



Заменяя т на п, получим окончательно формулу обращения

F {ер") еР" dp.

(2.80)

Так как z = eP и dz = Tzdp, то формула (2.80) может быть представлена в другом виде:

Интегрировакле ведется по окружности с центром в начале координат и радиусом R>\z\max, где v=l, 2, .... /, а Zv -полюсы функции F{z).

В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке г = Zv может быть определено из выражения

ResvF (2) 2"-1 = lim (2 - 2v) F (2) 2"-

(2.82)

В случае полюса кратности г значение интегрального вычета в точке z = 2v определяется выражением

ResvF (2) 2-1 = lim \F (2) (2 - 2,)- 2-1]. (2.83)

Если функция F (2) имеет нулевой полюс кратности г, то для функции F{z)z"-- при п = 0 полюс будет иметь кратность г +1. В этом случае значение интегрального вычета в точке 2 = 0 будет

ReSvF (z)z"-i =

llirn[F(2)2-].

R = 0,

(2.84)

Вследствие этого (2.79) можно представить в виде f F (ер еР" dp = j2nT-f [т].




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

0.0157