ного И начального значений непрерывной функции /(/) по ее изображению Лапласа:

Нт/(0 = Итрл{р),

<-.оо р->-0

limf (0= Птрл (р).

11. Свертка решетчатых функций. Если

то можно показать, что

fi iz) FAz) = {t h М /2 [« - v] = ж ( h [n - V] f, [n]\.

lv=0 J lv = 0 }

(2.76)

Эта формула аналогична соответствующему выражению для свертки двух непрерывных функций.

12. Формула обращения. Рассмотрим задачу нахождения решетчатой функции (оригинала) по ее изображению. Эту операцию запишем в символическом виде как обратное z-преобразование:

/ [п] = {F (г)}, Пп, е] = I- {F (г, е)}. (2.77)

Заметим, что аргумент изображения обладает свойством 2 = еР = ер+/2*, (2.78)

где Л - произвольное целое число. Вследствие этого изображения F (z) и F (z, е) представляют собой периодические функции относительно мнимой части аргумента р = =7+/сй с периодом 27"-, что дает основание рассматривать изображения только внутри интервала изменения О = со <; < 2лТ-\

Удобнее использовать интервал -лТ- <.ылТ-, так как он оказывается аналогичным интервалу частот - oo<;tu<;oo, рассматриваемому обычно для непрерывных функций времени. Принятый интервал дает на комплексной плоскости p = Y + /to область (рис. 2.10), в которой достаточно рассматривать изображение F (г) =

= F(ePO-

Изображение F (z) может иметь в этой области особые точки типа полюсов -р/ (где i=l, 2, к). Полюсы

могут быть или вещественными, или комплексно-сопряженными. В случае pi 2 = 7i ± ]лТ- достаточно рассматривать один из этих полюсов, соответствующий, напри-

мер, положительной мнимой части (на верхней границе области).

Рассмотрим выражение (2.42)

Рис. 2.10. Область интегриро- Умножим левую и правую вания. его части на ер, где т -

целое число, и проинтегрируем его вдоль линии L (рис. 2.10) в пределах от pi = = c-jnT- до р2 = с+ jnT, где с-произвольная величина, большая, чем абсцисса абсолютной сходимости:

рг Р:

5 F{eP)e"Pdp= \

Р2 г

2 f[n]e-"

р, Ln=o

= 2 / W 5 егР--Ыр. (2.79)

п = 0 р,

П-ри этом все полюсы F (ер) будут лежать в рассматриваемой области на комплексной плоскости левее линии интегрирования L. Это и дает право изменить в (2.79) порядок операций интегрирования и суммирования. Если пфт, то

V е-р7-(«-т)р £ pi

,-pTl.n-m)

-т)Т

-сТ(п-т)

: 1---- ГеМ (п- е- /я (п- m)i = 0.

(п-т) У

Еели п = т, то

\ dp - (с + /л Г -1) - (с - /лГ-1) = /2лТ-

Заменяя т на п, получим окончательно формулу обращения

F {ер") еР" dp.

(2.80)

Так как z = eP и dz = Tzdp, то формула (2.80) может быть представлена в другом виде:

Интегрировакле ведется по окружности с центром в начале координат и радиусом R>\z\max, где v=l, 2, .... /, а Zv -полюсы функции F{z).

В случае простых полюсов значение интегрального вычета в точке г = Zv может быть определено из выражения

ResvF (2) 2"-1 = lim (2 - 2v) F (2) 2"-

(2.82)

В случае полюса кратности г значение интегрального вычета в точке z = 2v определяется выражением

ResvF (2) 2-1 = lim \F (2) (2 - 2,)- 2-1]. (2.83)

Если функция F (2) имеет нулевой полюс кратности г, то для функции F{z)z"-- при п = 0 полюс будет иметь кратность г +1. В этом случае значение интегрального вычета в точке 2 = 0 будет

ReSvF (z)z"-i =

llirn[F(2)2-].

R = 0,

(2.84)

Вследствие этого (2.79) можно представить в виде f F (ер еР" dp = j2nT-f [т].