обязательно является тем максимальным значением, которого могут достигать те или иные члены последовательности. Амплитуда всегда является лишь верхней границей, но не обязательно максимумом этих членов.

Отметим также, что последовательность (2.180) не изменится, если заменить частоту f = al2n частотой f + kfo, где /"о = Т" - частота работы ключа, а А -целое число. Невозможно различить две частоты, разность между которыми равна целому кратному частоты повторения fo- Так, например, синусоидальная последовательность с частотой f = fo состоит из одного постоянного члена, повторяющегося неограниченное число раз, и, следовательно, она неотличима от последовательности с нулевой частотой f=0.

Из предыдущего следует, что, меняя частоту синусоидальной последовательности на входе f в пределах от О до /о, можно охватить весь диапазон возможных частот.

Можно также показать, что достаточно исследовать поведение импульсного фильтра в диапазоне частот 0/0,5/0, так как для интервала частот 0,bfoffo может быть использована дополнительная частота f, выбранная так, чтобы выполнялось условие f + f = fo-При этом начальная фаза ф должна быть заменена начальной фазой л -ф. Это положение аналогично тому, что при исследовании непрерывных систем в интервале частот -oo<Cf<Coo достаточно охватить только положительные частоты, т. е. интервал 0f<Coo.

Синусоидальная последовательность (2.180) может быть заменена символической записью последовательности комплексных чисел

ee[rt] = «e(««>+4) =dei", (2.181)

где d = ое*- комплексное число. Как и в случае непрерывных систем, символичность записи заключается в том, что на самом деле равно мнимой составляющей

правой части (2.181).

Введем обозначение е" = z. Тогда последовательность (2.181) приобретает вид

ее[и] = Й2». (2.182)

В этой формуле Z - произвольное комплексное число С модулем, равным единице. Следовательно, каждой

частоте соответствует определенная точка на окружности единичного радиуса, расположенной на комплексной плоскости (рис. 2.25). Двум эквивалентным частотам, т. е. частотам, различающимся на целое кратное частоты повторения, соответствует одна и та же точка на этой окружности. Частоте сй = 0 соответствует точка на вещественной оси 2=1, а частоте со = 0,5сйо -диаметрально противоположная точка z = -1. Частоте сй = 0,25соо соответствует точка 2 = / и т. д. Когда частота со изменяется ог О до (Оо. представляющая ее точка совершает один полный оборот против часовой стрелки. Двум симметричным относительно оси веществен- у=£к пых точкам, т. е. двум коми-лексным сопряженным числам с модулями, равными единице, соответствуют две взаимно дополняющие частоты со и со. Следовательно, совокупность точек, расположенных на одной верхней (или нижней) полуокружности единичного радиуса, достаточна для отображения всего многообразия частот.

Найдем теперь реакцию разомкнутой ЦАС на синусоидальную последовательность (2.180). Будем предполагать при этом, что в разомкнутом состоянии канал управления ЦАС устойчив. Поскольку синусоидальная последовательность на входе ограничена, то и реакция устойчивого канала управления должна представлять собой тоже ограниченную последовательность на выходе -у[п] = = sin (исоТ + Ф + г];).

В соответствии с формулой (2.119) выходная величина (решетчатая функция) будет записываться для установившегося режима в символическом виде

Рис. 2.25. Комплексная плоскость величины Z.

Ус[п] = 2 eAm]w„[n--m]= 2 еп-m]w„lm] =

т = 0

т = о

= S к>„[т]£}2"-" = й2" 2 Wnlm]z~". (2.183)

т - О т = 0

Эта формула может быть представлена в следующем символическом виде:

Уе [п] = Ье/(«"Г+ф+я1» = йг"W (z) = [п] W {z), (2.184)

где 2 = 6", со = 2лТг, 6 = Здесь введена величина

= " (2.185)

I W (£") I = = А, argW (ein = я]),

которая по своему физическому смыслу аналогична частотной передаточной функции непрерывной системы. Как видно из (2.185), для линейного канала ЦАС она зависит только от частоты со и является периодической функцией частоты с периодом соо = 2лТ".

Амплитуду и фазу последовательности выходного сигнала (2.184) можно найти обычным приемом по комплексному выражению W (z). Отношение амплитуд выходного и входного сигналов равно модулю, а разность их фаз - аргументу этого выражения.

В общем случае, когда еО, формула (2.184) может быть представлена в виде

уАп, E]=W{z, Е)е,[п], z = e/" (2.186)

где W (z, е) - передаточная функция разомкнутого канала управления (2.163), записанная здесь для общего случая, когда 80.

Таким образом, частотная передаточная функция может быть найдена из дискретной передаточной функции W (г) или W (z, е) посредством подстановки z = e<, в результате чего получим W {е) или W(e", 8).

Изложенное можно распространить на иные передаточные функции. Так, например, для замкнутой ЦАС можно получить частотную передаточную функцию Н (е»), связывающую между собой в символическом виде синусоидальную последовательность g[n\ на входе и последовательность у{п\ на выходе. Частотная передаточная функция Я(е") связывает между собой в символическом виде синусоидальные последовательности g[и] и е{п\. При этом для получения ограниченных последователь-