(5.324)

Аналогичным образом для любого значения m можно получить приближенную формулу для относительной ошибки дифференцирования:

д % -Т""

(5.325)

В формулу (5.325) введена функция qi{tn), значения которой даны в таблице 5.15. Полученная формула позволяет выбрать период дискретности по заданному значению методической ошибки при известном числе учиты-

Рассмотрим, например, дифференцирование гармонического сигнала g = Asm{f)t-\-tp) со случайной начальной фазой с использованием только второй разности {т = 2). Для этого сигнала /С (т) = О.бЛ cos рт, Ki{t) = 0,5Ax xcospr и /Сг (т) = 0,5Л2р* cos рт. В соответствии с формулами (5.318) и (5.319) алгоритм дифференцирования может быть записан для этого случая в виде

[п] - V [п] Т- = (g [п] - 2g [п - 1 ] -f g [п - 2]) Т-\

Таким образом, здесь Ьо=1, 6i= -2 и 62= 1- Подставляя известные значения в (5.300), имеем

ам= + (1 - 2 cos рГ+cos 2РТ) +

+ (-4cospT-fcos2pr)-f. (5.323)

Полученная формула (5.323) является точной. При условии, что рТ-1, ее можно значительно упростить, разлагая косинус в степенной ряд и ограничиваясь членами НИЗШИХ степеней. В результате имеем

Таблица 5.15

<7i (m)

72 (m)

G, (m)

C4 (m)

Ce(m)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,917

0,834

0,761

0,700

0,678

0,630

0,586

0,550

6,0 46,0 197 692 2,88. I№* 7,35 • 10=* 2,47. 10* 8,01 • 10* 2,46.10=

1,12 1,32 1,41 1,47 1,51 1,54 1,56 1,58 1,59

1,62 1,59 1,58 1,57 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61

1,32 2,24 3,63 6,05 10,2 16,8 30,1 50,5 83,2

2,31 5,02 8,55 14,8 25,0 41,7 77,6 133 219

1,74 4,90 8,04 13,9 25,7 40,1 68,1 121 191

5,3 24,1 31,6 51,3 91,2

ваемых обратных разностей. Если задана величина Д„, то необходимо выполнить условие

1 1

т - 1

1

Р L<7i(«)J

-im - 1

(5.326)

Для иллюстрации в таблице 5.16 приведены требуемые значения периода дискретности при дифференцировании гармонического сигнала с частотой Р = 1с"1и Таблица 5.16 Д„ = 0,001 =0,1 о/о.

Приближенную оценку точности (5.325) можно распространить на случайный сигнал произвольного вида, имеющий m -f-1 конечных производных. Произведя действия, аналогичные изложенным выше, можно получить среднеквадратичную ошибку дифференцирования

и относительную среднеквадратичную ошибку дифференцирования

(5.328)

где a+i - среднеквадратичное значение (т + 1)-й производной входного сигнала, с = с„. Из (5.328) может быть

легко получена формула (5.325), если сделать справедливую для гармонического сигнала подстановку a„+i =

Примем предположение о независимости ошибок квантования, рассматриваемых в различные дискретные моменты времени пТ, {п-1)Т, {п - т)Т. Тогда из формул (5.318) и (5.319) может быть получено выражение для суммарной дисперсии шумовой ошибки:

а = Ок =

(5.329)

где 6i -цена младшего разряда входного преобразователя. В формуле (5.329) введена функция qi{m), значения которой даны в таблице 5.15. В таблице 5.17 для

Таблица 5.17

иллюстрации приведены значения среднеквадратичной ошибки от квантования по уровню а, отнесенные к величине 6iT~2, при различных значениях числа учитываемых обратных разностей т. Так, если Т = 0,001 с, т==2 (см. таблицу 5.16) и 6i=l угл. мин, то среднеквадратичное значение шумовой ошибки на основании таблицы 5.17 составит

о-„ =

0,716i 0,71 -1

0,0012

= 0,71-lO* угл. мин/с*

Этот пример иллюстрирует сложность проблемы вычисления на ЦВМ второй производной входного сигнала, определяемую возрастанием уровня шумовых помех. Так как даже в простейшем случае, когда те=2, закон распределения шумовой ошибки соответствует композиции трех случайных величин с равновероятным законом рас-