Полученные формулы позволяют выбирать период дискретности Т по заданному значению методической ошибки при известном значении числа учитываемых обратных разностей или определять необходимое значение т при заданном значении периода дискретности Т. Так, например, если заданы величины Д„ и т, то период дискретности должен удовлетворять условию

;lv(m-f 1)Д,

(5.305)

Таблица 5.10

В таблице 5.10 в качестве иллюстрации приведены требуемые значения периода дискретности при дифференцировании регулярной качки с частотой р = 1 рад/с и требуемым значением Д = ==0,001=0,1%.

Приближенную оценку (5.304) можно распространить на случай сигнала произвольной формы. Пусть непрерывный входной сигнал имеет (m-f-l) производных, а в алгоритме дифференцирования используются обратные разности g[n\, ... , V«£[n]. Оценим ошибку от отбрасывания не равной нулю обратной разности V"+i£[n]. Ошибка дифференцирования

В соответствии с формулами (5.295) и (5.296) можно записать

Vn+ig [п] g<"+i> [п] Т"\

Тогда

Возведя в квадрат левую и правую части последнего выражения и переходя к математическому ожиданию, получаем средний квадрат ошибки дифференцирования:

(m+iy

(т+1)с.

(5.306)

В последних выражениях a+i - среднеквадратичное значение (т+1)-й производной входного сигнала, а - среднеквадратичное значение его первой производной. Подстановка в (5.306) значений а+, = 0,5р2(«+1)Л2 и а!=0,5рМ, справедливых для гармонического входного

сигнала, дает формулы (5.304).

Рассмотрим теперь влияние шумов квантования. Квантование по уровню вызывает появление дополнительной ошибки, носящей случайный характер. Статическая характеристика входного преобразователя ЦВМ изображена на рис. 2.3, а. По оси абсцисс отложена непрерывная входная величина g, а по оси ординат -ее цифровое представление go- Величина 6i соответствует цене единицы младшего разряда.

В процессе квантования входная величина округляется до ближайшего целого значения выходной величины преобразователя. Максимальная ошибка округления при этом не может превосходить 0,56i.

Обычно принято исходить из равновероятного закона распределения ошибки квантования (см. главу 3). Дисперсия ошибки квантования при этом составляет Dk = = 61/12. Кроме того, будем считать, что ошибка квантования может быть представлена в виде дискретного белого шума с корреляционной функцией вида Кк [Т] = = Dk6[/T], где б [гТ] - единичная импульсная решетчатая функция. Тогда для дискретных моментов времени t = iT, где i - целое число, случайные ошибки квантования можно считать независимыми, что позволяет определить дисперсию результирующей ошибки квантования при вычислении производной суммированием дисперсий ошибок квантования в дискретные моменты времени.

Из формул (5.294), (5.297) и (5.299) можно получить значение суммарной дисперсии ошибки округления на входе ЦВМ:

Ок=т1к 2 = тИо И- (5.307)

1 = 0

В таблице 5.11 приведены значения функции Fo(m) и среднеквадратичной шумовой ошибки, отнесенной к величине 6iT~, при различном числе учитываемых обратных

§ 5.61

КОМБИНИРОВАННОЕ УПРАБЛЕНИЕ

разностей или, что все равно, числе используемых предыдущих тактов.

Таблица 5.11

Так, например, если Г=0,002 с, т = \ (см. таблицу 5.10) и 6i=I угл. мин, то среднеквадратичное значение шумовой ошибки от квантования по уровню на основании таблицы 5.11 составит

0,4076i 0,407. 1

0,002

= 203 угл. мин/с=3,38 град/с.

При т=1 закон распределения соответствует закону Симпсона. При т>1 на основании центральной предельной теоремы закон распределения будет тем точнее приближаться к нормальному, чем больше величина т. При т = 1 максимальное значение ошибки ах

= а„ 1/1,5 = 1,220. При ml приближенно можно положить a">t3(y.

При вычислении производной по формуле (5.297) необходимо осуществить операцию умножения на Т~\ Эта операция заключается в масштабировании сигнала выходного преобразователя. Цена его единицы младшего разряда может быть принята равной 8ii = 6iT~, Тогда операции округления в выходном преобразователе не будут происходить и вся ошибка от квантования по уровню будет определяться формулой (5.307). Общее число отличных от нуля уровней выходного преобразователя должно быть не менее величины gmax6u=gniax6r7. Этому соответствует требуемое число разрядов выходного преобразователя tti > 3,3 Ig (1 + gmaxfir•

С целью уменьшения числа разрядов выходного преобразователя возможно укрупнение цены его младшего разряда за счет отбрасывания нескольких младших