Главная страница Структура цифровых систем [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [ 80 ] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] Если период дискретности изменяется медленно по сравнению с изменением весовой функции, то рациональным здесь оказывается использование метода замороженных коэффициентов. В этом случае расчет устойчивости следует сделать для нескольких возможных значений периода дискретности, например для Тщах и Tmin. Практически важную задачу представляет определение влияния случайности периода дискретности на качественные показатели системы. Как и при определении устойчивости, здесь можно различать два случая. Первый случай соответствует быстрому изменению во времени периода дискретности. Тогда оценка качественных показателей может быть сделана по усредненным значениям, т. е. по их математическим ожиданиям. Пусть, например, качество системы определяется некоторым критерием, представляющим собой функцию от периода дискретности: 1 = 1 {Т). Тогда, если известно выражение для плотности вероятности ЬТ), математическое ожидание этого критерия можно найти по формуле / = М{/}= \ l(T)inT)dT. (3.276) Формула (3.276) оказывается обычно сЛищком сложной для практических расчетов. Более простой путь заключается в следующем. Пусть период дискретности имеет математическое ожидание М = {Г} = = const и случайное отклонение от математического ожидания АГ, имеющее нулевое среднее и дисперсию D/-. Тогда период дискретности будет Т = Т-\-А.Т. Разложим функцию качества I {Т) в ряд Тейлора в окрестностях точки Т = Т. 1(Т, + АТ)=1 (Ге) + ДГ ++... (3.277) Математическое ожидание критерия при ограничении тремя членами ряда 11 (Г,)+ - (3.278) Формула (3.278) может использоваться для различных оценок качества (точности, запаса устойчивости, быстродействия) и, в частности, может быть применена для приближенной оценки вместо формулы (3.27ь). Входящая /г,+д КТ)ЫТ: Условие устойчивости Oi < 1 дает здесь <(Г+0)- Заметим, что в рассматриваемом случае среднеквадратичное значение корня не зависит от функции распределения, а определяется только значениями и Dj-. Действительно, можем записать здесь Zi =- (1 - КГ)2 = 1 - 2КТ + КТ. В формулу производная должна быть вычислена для В случае относительно медленных изменений периода дискретности во времени качественные показатели могут определяться по методу замороженных коэффициентов для некоторых значений периода, например для Гщах и Тшт, что, как правило, приводит к более жестким требованиям для допустимых изменений периода дискретности. Пример 3.6. Рассмотрим систему с передаточной функцией в разомкнутом состоянии Определим условие устойчивости и найдем показатель колебательности замкнутой системы, если К= 1 с-, = = 1 с, а плотность вероятности для периода дискретности соответствует равновероятному закону с дисперсией Dr = AV3. Рассмотрим вначале случай относительно быстрых изменений периода дискретности. Характеристическое уравнение замкнутой системы z-l+KT = 0 имеет один кооень 2i = 1 - КТ. Среднеквадратичное значение корня из (3.275) W*U%, Т)= Амплитудно-фазовая характеристика для этого примера была построена ранее (см. пример 2.3) на рис. 2.26, а и б. Из сопоставления ее с запретной областью для заданного показателя колебательности (рис. 2.27, д) следует, что последний для случая KTl может быть определен из равенства 0,ЬКТМ (М+ 1)-, откуда следует: М = = КТ{2 - КТ). Воспользовавшись формулой (3.276), имеем математическое ожидание показателя колебательности М=5 M(T)(T)dT = ± J dT 2/СД Использование приближенной формулы (3.278) дает здесь 2 - КТс 3(2 -КГе)" Пусть, например, а=0,5тс=0,5 с. Тогда точная формула дает М= 1,19, а приближенная - М= 1,16. Перейдем теперь к случаю медленных изменений периода дискретности. Из полученной выше формулы для Zt следует условие технической устойчивости на любом интервале времени \zi\ = \KT-\\<:\, которое преобразуется к неравенству К.Т<С2. Наихудший случай, определяющий минимальное допустимое значение Перейдя в левой и правой частях равенства к математическому ожиданию, имеем Oi = М {21} = 1 - 2КТ, + (П + Dt), что совпадает с полученным выше. Частотная передаточная функция разомкнутой системы здесь имеет вид [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [ 80 ] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] 0.0197 |