Аналогичные формулы обращения имеют место и для смещенной решетчатой функции:

f[n,E] = - S F{ep e)ep«dp, (2.85)

с-/ЯГ-»

= тл § ) = 2 -

Полученные выражения (2.80), (2.81), (2.85) и (2.86) несколько сложны для практического использования. Поэтому для нахождения решетчатой функции по ее изображению обычно применяются другие методы, которые даны ниже.

13. Формулы разложения. Если изображение представляет собой простейшую табличную форму (см., например, таблицу 2.1), то переход к оригиналу не представляет трудностей. Сложная дробно-рациональная форма может быть представлена в виде суммы дробей первой степени. Рассмотрим некоторые употребительные разновидности формулы разложения.

а) Пусть изображение F(z) представляет собой отношение двух многочленов:

Р(у\ Л{г) гЛо(г) "В (Z) В (г) •

причем будем предполагать, что степень числителя не выше, чем степень знаменателя, а корни знаменателя простые. Тогда изображение можно представить в виде суммы

гЛ(г) у 2.87)

где Ё(г) - производная Б(z) по г, а 2v (v = 1, 2,I) - корни знаменателя. Элементарному слагаемому г {г - Zv)~

соответствует оригинал e~"v"=-Zv, где а = Т-Чпг (см. таблицу 2.1). В таблице 2.1 единственный корень дроби первой степени обозначен zid.

Поэтому оригинал (2.87) можно записать следующим образом:

J[«]=2fg-- (2.88)

б) Пусть изображение F(z) не имеет нулевого корня числителя, но степень числителя А (г) меньше степени знаменателя. Тогда, как следует из (2.75), начальное значение решетчатой функции f [0] = 0. Числитель и знаменатель F(z) можно умножить на г. Тогда, если корни знаменателя F (г) простые, имеем

Множитель перед суммой в (2.89) означает запаздывание на один такт. Следовательно, чтобы получить исходную решетчатую функцию, следует в правой части (2.88) сделать сдвиг на один такт вправо, для чего нужно заменить п на R-1. В результате имеем

причем последнее выражение будет справедливым только

для 111.

в) Пусть изображение F {г) не имеет нулевого корня числителя А (z), причем степень А (z) равна степени знаменателя Б (z). Тогда следует понизить степень числителя, поделив его на знаменатель, и представить F (г) в виде суммы составляющей нулевого порядка и дробно-рационального остатка Fo(z). В соответствии с (2.42) первая составляющая равна начальному значению решетчатой функции fin]. Поэтому

() = W = lO]-bFo(z) = nO] + 4Tf-

Переход от второй составляющей изображения к оригиналу может быть сделан по формуле (2.90), которая справедлива для п 1.

г) Если изображение F(z) можно представить в виде некоторой дробно-рациональной функции fy(z), умножен-

eo(2v)

При равенстве степеней числителя и полинома Во (г) следует выделить делением А (z) на Во (z) нулевую составляющую и остаток, после чего представить изображение в виде

Л (г)

Во (г) J-

Здесь / [г] - значение оригинала в момент п = г. Далее можно воспользоваться формулой (2.92), заменив в ней Л (г) на Ао(г).

е) Пусть изображение F (г) имеет полюс Zj кратности г, а все остальные полюсы простые:

F /и - A(!L (z)

в (г) (z-ziY • В,{г)

НОЙ на изображение единичной ступенчатой решетчатой функции 1[п], которое равно z(z-l)-, т. е.

F(z\- F /-ч г Ло(г)

то можно показать, что формула разложения приобретает вид

v = l

Последнее выражение представляет собой аналог известной формулы разложения Хевисайда, полученной им для непрерывных систем.

д) Пусть изобра.жение F {z) имеет нулевой полюс кратности г и простые остальные полюсы

"f в {г) г-В„(г) •

причем степень числителя А (г) меньше степени полинома Bo{z). Тогда на основании (2.84) и (2.90) можно найти оригинал в виде

О, если п<г+ 1,