Главная страница Структура цифровых систем [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] Н(р) ylt) ния Яо (р) = е"», где - время упреждения. Реше-Рис. 4.1. Оптимальный фильтр ние получается нетриви-Винера альным даже в случае от- сутствия помехи. В задачах дифференцирования сигнала при наличии помех заданный линейный оператор имеет вид Hq (р) = р, где k - порядок отыскиваемой производной. После нахождения оптимальной передаточной функции Я (/со) или Я* iji) конструктор должен попытаться реали-зрвать ее посредством использования тех элементов, которыми он располагает и из которых должна быть построена система управления. Так как в большинстве практических случаев точное воспроизведение оптимальной передаточной функции оказывается невозможным, то приходится использовать квазиоптимальную, или субоптимальную, систему, более или менее близко совпадающую по своим параметрам с оптимальной. Задача винеровской фильтрации может быть решена и для многомерного случая, когда рассматриваются матрицы-столбцы величин и (/), V (t) ag (/). Схему, изображенную на корреляционными функциями, требуется найти частотную передаточную функцию замкнутой системы Я (/со) или ей соответствующую физически реализуемую весовую функцию h (t) = [Я (р)], осуществляющую требуемое линейное преобразование входного сигнала g{t) = Ih(p)u{t), (4.8) где Яо (р) - заданный линейный оператор, и обеспечивающую минимум дисперсии ошибки (4.4): Ит { et)dt. Если Нд (р) = 1, то это будет задача оптимального сглаживания, т. е. выделения сигнала g(t) = и {t) из аддитивной смеси полезного сигна- I-----1 ла и помехи. При равенстве ,----. >{ щ(р) t-7?rSr->7-) помехи нулю решение за- j I \gW\ (t) дачи сглаживания имеет i u(t) i тривиальный вид: Н(р)=1. i В задачах оптимального статистического упрежде- рис. 4.1, следует тогда рассматривать как многомерную. В качестве критерия оптимальности здесь принимается минимум математического ожидания М [еГе], где Г - любая положительно-определенная матрица, а е - матрица-столбец ошибок. В этом случае минимизируется и каждая составляющая е (t). Использование фильтров Калмана. Эти фильтры в лите-)атуре также называются фильтрами Калмана - Бьюси 106, 147, 1481. В отличие от задачи Винера, для задания случайного входного полезного сигнала (задающего воздействия) здесь используется формирующий фильтр (ФФ) (рис. 4.2), представляющий собой некоторую динамическую it(t)
Рпс. 4.2. Оптимальный фильтр Калмана. систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями в общем случае с переменными коэффициентами и возбуждаемую многомерным белым шумом и {t) с гаус-совским распределением. На рис. 4.2 это показано для непрерывного случая. Формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом, представляет собой модель входного процесса системы управления (систему-аналог). Состояние этой модели в каждый момент времени определяется совокупностью переменных состояния X {t), число которых обусловливается видом входного сигнала, т. е. его корреляционной функцией иЛи спектральной плотностью. Определение состояния системы-аналога производится измерительным устройством (ЯУ), которое на своем выходе дает совокупность входных сигналов системы управления g [t), т. е. многомерный входной сигнал, искаженный аддитивной помехой v (t), представляющей собой многомерный белый шум с гауссовым распределением. В дискретном варианте задачи Р. Калмана входные и выходные величины формирующего фильтра рассматриваются в дискретные моменты времени t = kT, где k - целое число, а Г - период дискретности. В этом случае модель входного сигнала описывается системой линейных разностных уравнений. Требуется построить динамическую систему - фильтр Калмана (ФК), которая дает наилучшую оценку многомерной величины X (t) в виде совокупности выходных величин фильтра X (t). Далее из этой совокупности могут юрмиро-ваться линейным образом выходные величины систем управления у (f) == II у1 (t) II. К оценке х (t) предъявляется требование несмещенности, т. е. ее математическое ожидание M[i(0] = M[x(0], t:to. (4.9) Выражение (4.9) записывается также в другом виде. При заданных измерениях величины х {t) от момента до момента t оценка х (ti/t) в некоторый момент времени tj должна обладать свойством M[x{h/t)] = M[x{ii)]. (4.10) Кроме того, накладывается условие минимума дисперсии ошибки оценки, которое записывается в виде M[8T8] = mm, ) \ (4.11) где Г - любая положительно-определенная матрица. Матричное произведение еТе представляет собой квадратичную форму с весовой матрицей Г. Выражение (4.11) означает, что оценка х {tjt) величины х {к) удовлетворяет условию минимума дисперсии ошибки каждой из составляющих совокупности величин х {к). При использовании фильтров Калмана возможны следующие случаи. 1. Для непрерывных систем решается задача оптимальной фильтрации, т. е. задача выделения полезного сигнала из аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. В этом случае фильтр Калмана дает оценку совокупности переменных X (t), начиная с некоторого момента времени t, в виде первоначального грубого приближения х (to), которое тем точнее, чем больше имеется априорных сведений о совокупности X {to). Далее с течением времени эта оценка улучшается и постоянно приближается к теоретически достижи- [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] 0.0161 |