Главная страница  Структура цифровых систем 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

Н(р)

ylt)

ния Яо (р) = е"», где - время упреждения. Реше-Рис. 4.1. Оптимальный фильтр ние получается нетриви-Винера альным даже в случае от-

сутствия помехи. В задачах дифференцирования сигнала при наличии помех заданный линейный оператор имеет вид Hq (р) = р, где k - порядок отыскиваемой производной.

После нахождения оптимальной передаточной функции Я (/со) или Я* iji) конструктор должен попытаться реали-зрвать ее посредством использования тех элементов, которыми он располагает и из которых должна быть построена система управления. Так как в большинстве практических случаев точное воспроизведение оптимальной передаточной функции оказывается невозможным, то приходится использовать квазиоптимальную, или субоптимальную, систему, более или менее близко совпадающую по своим параметрам с оптимальной.

Задача винеровской фильтрации может быть решена и для многомерного случая, когда рассматриваются матрицы-столбцы величин и (/), V (t) ag (/). Схему, изображенную на

корреляционными функциями, требуется найти частотную передаточную функцию замкнутой системы Я (/со) или ей соответствующую физически реализуемую весовую функцию h (t) = [Я (р)], осуществляющую требуемое линейное преобразование входного сигнала

g{t) = Ih(p)u{t), (4.8)

где Яо (р) - заданный линейный оператор, и обеспечивающую минимум дисперсии ошибки (4.4):

Ит { et)dt.

Если Нд (р) = 1, то это будет задача оптимального сглаживания, т. е. выделения сигнала g(t) = и {t) из аддитивной смеси полезного сигна-

I-----1 ла и помехи. При равенстве

,----. >{ щ(р) t-7?rSr->7-) помехи нулю решение за-

j I \gW\ (t) дачи сглаживания имеет

i u(t) i тривиальный вид: Н(р)=1.

i В задачах оптимального

статистического упрежде-



рис. 4.1, следует тогда рассматривать как многомерную. В качестве критерия оптимальности здесь принимается минимум математического ожидания М [еГе], где Г - любая положительно-определенная матрица, а е - матрица-столбец ошибок. В этом случае минимизируется и каждая составляющая е (t).

Использование фильтров Калмана. Эти фильтры в лите-)атуре также называются фильтрами Калмана - Бьюси 106, 147, 1481. В отличие от задачи Винера, для задания случайного входного полезного сигнала (задающего воздействия) здесь используется формирующий фильтр (ФФ) (рис. 4.2), представляющий собой некоторую динамическую

it(t)

> ФФ

19$)

Рпс. 4.2. Оптимальный фильтр Калмана.

систему, описываемую линейными дифференциальными уравнениями в общем случае с переменными коэффициентами и возбуждаемую многомерным белым шумом и {t) с гаус-совским распределением. На рис. 4.2 это показано для непрерывного случая.

Формирующий фильтр, возбуждаемый белым шумом, представляет собой модель входного процесса системы управления (систему-аналог). Состояние этой модели в каждый момент времени определяется совокупностью переменных состояния X {t), число которых обусловливается видом входного сигнала, т. е. его корреляционной функцией иЛи спектральной плотностью. Определение состояния системы-аналога производится измерительным устройством (ЯУ), которое на своем выходе дает совокупность входных сигналов системы управления g [t), т. е. многомерный входной сигнал, искаженный аддитивной помехой v (t), представляющей собой многомерный белый шум с гауссовым распределением. В дискретном варианте задачи Р. Калмана входные и выходные величины формирующего фильтра рассматриваются в дискретные моменты времени t = kT, где k - целое число, а Г - период дискретности. В этом случае



модель входного сигнала описывается системой линейных разностных уравнений.

Требуется построить динамическую систему - фильтр Калмана (ФК), которая дает наилучшую оценку многомерной величины X (t) в виде совокупности выходных величин фильтра X (t). Далее из этой совокупности могут юрмиро-ваться линейным образом выходные величины систем управления у (f) == II у1 (t) II.

К оценке х (t) предъявляется требование несмещенности, т. е. ее математическое ожидание

M[i(0] = M[x(0], t:to. (4.9)

Выражение (4.9) записывается также в другом виде. При заданных измерениях величины х {t) от момента до момента t оценка х (ti/t) в некоторый момент времени tj должна обладать свойством

M[x{h/t)] = M[x{ii)]. (4.10)

Кроме того, накладывается условие минимума дисперсии ошибки оценки, которое записывается в виде

M[8T8] = mm, )

\ (4.11)

где Г - любая положительно-определенная матрица. Матричное произведение еТе представляет собой квадратичную форму с весовой матрицей Г. Выражение (4.11) означает, что оценка х {tjt) величины х {к) удовлетворяет условию минимума дисперсии ошибки каждой из составляющих совокупности величин х {к).

При использовании фильтров Калмана возможны следующие случаи.

1. Для непрерывных систем решается задача оптимальной фильтрации, т. е. задача выделения полезного сигнала из аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. В этом случае фильтр Калмана дает оценку совокупности переменных X (t), начиная с некоторого момента времени t, в виде первоначального грубого приближения х (to), которое тем точнее, чем больше имеется априорных сведений о совокупности X {to). Далее с течением времени эта оценка улучшается и постоянно приближается к теоретически достижи-




[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [ 85 ] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189]

0.0161