= 5д(сй). в задаче предсказания Н„ (р) == ei" и Яо (/со) = = g;(OT„ где То -время предсказания. Тогда 5„(со) = = S„ (со) ехр (/соТо).

Перейдем к решению уравнения Винера - Хопфа (4.23). Если корреляционная функция /Сг(т) соответствовала бы идеальному белому шуму, т. е. выполнялось бы условие /Сг(т) = б(г), где б (т) - единичная дельта-функция, то решение (4.23) было бы элементарным:

Корреляционной функции б (т) соответствует (см. таблицу 3.1) спектральная плотность S (со) = 1. Необхо-

i----1

Рис. 4.5. Схема использования отбеливающего фильтра.

димое условие можно выполнить, пропустив смесь г (t) = = u(t)-{-v(t) через отбеливающий (декоррелирующий) фильтр (рис. 4.5), выбранный так, чтобы для его передаточной функции выполнялось условие

Voci.(/«)S,(«) = l. (4.29)

Представим спектральную плотность S(cu) в виде произведения сопряженных комплексных величин:

5Л«) = (/«)¥(-/«). (4.30)

Из формул (4.29) и (4.30) может быть найдена передаточная функция отбеливающего фильтра

Vo*(/«) = -. (4.31)

Полюсы и нули сомножителя Y (/со) полезно выбрать так, чтобы они лежали в верхней полуплоскости вели-

ЧИНЫ № (в левой полуплоскости величины р = /со), т. е. ПОЛОЖИТЬ ¥ (/со) = [S (сй)]+, где индекс «пЛюс» указывает на такой выбор полюсов и нулей (jv)). Тогда получим, что полюсы и нули второго сомножителя будут находиться в нижней полуплоскости (или, соответственно, в правой полуплоскости величины р = /сй), т. е. Ч* (/со) = = Ч?(-/co) = [S(co)]-. Отбеливающий фильтр с передаточной функцией (4.31) будет при этом наиболее просто реализуемым и он будет соответствовать устойчивому звену.

Пусть, например, спектральная плотность имеет вид

Представим ее в виде произведения комплексно-сопряженных величин:

с /,л УА(\+1ЪТ) УА(1~т

г[Р)~ (1+уаГ2)(1-Ь/шГз) (1-/шГ2)(1-;шГз)

= ¥(/со)¥(-/ш).

Отсюда следует, что

"> (i+mT)(i+i<Ts) Передаточная функция отбеливающего фильтра W tu.\ - (1+/м72)(1+/ю7з)

(") - - ум+т •

Так как мы рассматриваем теперь суммарный сигнал s{t) на выходе отбеливающего фильтра вместо смеси r{t), то уравнение Винера -Хопфа (4.23) должно быть записано в другом виде (рис. 4.5):

Kss (т) = f /11 (ri) б (т - т]) dT], (4.32)

где весовая функция

*.>={"" <">

соответствует оптимальной передаточной функции (р).

Корреляционной функции Kgsi) соответствует спектральная плотность, которая может быть найдена на осно-

ЧС/сй) (/сй) Ll(-yw)J

Щ- (4-39)

вании формулы, определяющей взаимную корреляционную функцию входной и выходной величин динамического звена с известной передаточной функцией:

S,s И = Wo (- М S,r (со) = 4f=W- (-34)

Для получения оптимальной передаточной функции Hi{j(i)), которая связана с весовой функцией /ii (т) преобразованием Фурье:

Hi (/со) = \hi (т) е-/" dx, (4.35)

следует представить спектральную плотность (4.34), являющуюся преобразованием Фурье соответствующей корреляционной функции

SgsH= S Kgs(r)erf-dx, (4.36)

в виде суммы

(ш) = lS,s («)]+ + lS,s («)]-. (4.37)

Здесь первое слагаемое соответствует полюсам спектральной плотности, лежащим в верхней полуплоскости аргумента со (или в левой полуплоскости аргумента р=/сй), второе -в нижней полуплоскости аргумента со (правой полуплоскости аргумента р = /сй). Первое слагаемое соответствует реализуемой части системы, т. е. процессу для положительного времени (выполнению условия физической реализуемости). Таким образом, частотная передаточная функция физически реализуемого фильтра

Я1(;ш) = [5Л«)1+- (4.38)

Для того чтобы найти оптимальную передаточную функцию системы для схемы, изображенной на рис. 4.1, следует умножить определяемую формулой (4.38) Передаточную функцию на передаточную функцию отбеливающего фильтра (рис. 4.5). В результате имеем искомую частотную передаточную функцию